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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 为单位向量， $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{O B} = \frac{3}{2}$ ， $C$ 在定直线 $l : y = x + 2 \sqrt{2}$ 上，不等式 $|\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}| \geq T$ 恒成立，则实数 $T$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2 + \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty, 2 - \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, 2 \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty, \sqrt{3}]$

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2、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + a^{3}$ ，则下面正确的是（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、若 $a > 0$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ C、若 $f (x)$ 有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(0, \sqrt[3]{4})$ D、若存在 $s, t \in R$ ，满足 $f (s - t) + f (s + t) = 2 f (s)$ ，则 $s t = 1$

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3、若 $\tan θ = 3 \tan α, \sin (θ + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 (θ - α) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4、给出下列说法，其中正确的是（　　）

A、某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 $4$ B、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots$ 的平均数为2，方差为3，那么数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ 的平均数和方差分别为5，13 C、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.25 x + 1.5$ 中，相对于样本点 $(2, 1.2)$ 的残差为 $- 0.8$ D、样本相关系数 $r \in (- 1, 1)$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x$ ， $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调增区间；

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，求证： $f (x_{0}) < 0$ ．

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6、已知 $p : - 1 \leq x - a \leq 1, q : 2 < x < 3$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7、设 $A = {x | x^{2} + 3 x - 10 = 0}$ ， $B = {x | a x = 1} .$ 若 $A \cup B = A$ ，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $0$

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8、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a^{2} + 2 a$ ， $(a \in R)$ ，集合 $A = \{x| f (x) \leq 0\}$ ．

(1)、若集合 $A$ 中有且仅有 $3$ 个整数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、集合 $B = \{x| f (f (x) + b) \leq 0\}$ ，若存在实数 $a \leq 1$ ，使得 $A \subseteq B$ ，求实数b的取值范围．

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9、求下列各式的最值

(1)、已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求函数 $y = x (1 - 2 x)$ 的最大值

(2)、设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值

(3)、设正实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} - z = 0$ ，当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时，求 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} - \frac{2}{z}$ 的最大值．

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10、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = x |x - m|$ ．

(1)、当 $m = 3$ 时，画出 $f (x)$ 的图象，并写出 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $0 < m \leq 3$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最小值．

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11、已知 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ ， $x \in (- 2, 2)$ .

(1)、用定义判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的单调性；

(2)、若 $f (a + 2) > f (2 a - 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 3}{x + 4} < 1}, B = {x | x^{2} + x - 6 < 0}$

(1)、求集合A；

(2)、 $(∁_{R} A) \cap B$ ．

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13、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = |x + \frac{4}{x} - a| + a$ 在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是

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14、已知集合 $A = \{x |1 < x < 3\}$ ，集合 $B = \{x |2 m < x < 1 - m\}$ ，命题 $p$ ： $x \in A$ ，命题 $q$ ： $x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + a, x \geq 1 \\ - x, x < 1 \end{array}$ ，若 $f (2) = 9$ ，则实数a的值为．

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16、已知满足 $c < b < a,$ 且 $a + b + c = 0$ ，下列选项中一定成立的是（）

A、 $a b > a c$ B、 $c (b - a) > 0$ C、 $a b^{2} > c b^{2}$ D、 $a c (a - c) < 0$

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17、下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- 2 x}$ B、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$

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18、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 2023$ 的交点个数（）

A、至少有1个 B、至多有1个 C、仅有1个 D、可能有无数多个

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19、已知集合 $N = {0, 1, 2}$ ，则满足条件 $A \subseteq N$ 的集合 $A$ 的个数有（）．

A、6 个 B、7 个 C、8 个 D、9 个

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20、某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分．现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x
科普过程性积分
人数
$90 \leq x \leq 100$
4
10
$80 \leq x < 90$
3
a
$70 \leq x < 80$
2
b
$60 \leq x < 70$
1
23
$0 \leq x < 60$
0
2

(1)、当a=25时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ii）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望 $E (X)$ ；

(2)、从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 $Y_{1}$ ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为 $Y_{2}$ ．若根据表中信息能推断 $Y_{1} \leq Y_{2}$ 恒成立，直接写出a的最小值．

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科普测试成绩x	科普过程性积分	人数
$90 \leq x \leq 100$	4	10
$80 \leq x < 90$	3	a
$70 \leq x < 80$	2	b
$60 \leq x < 70$	1	23
$0 \leq x < 60$	0	2