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相关试卷

1、如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象顶点在第一象限，且经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (0, 1)$ 两个点.则下列说法正确的是：① $a b c < 0$ ；② $- 1 < a < 0$ ；③ $0 < b < 1$ ；④ $0 < a + b + c < 2$ .（）

A、①③ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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2、在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示）.双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为 $A, B, C, D$ ，其中 $A$ 对阵其他三个队伍时获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，最初分组时， $A, B$ 同组， $C, D$ 同组.

(1)、若 $p = \frac{3}{4}$ ，在淘汰赛赛制下， $A, C$ 获得冠军的概率分别为多少？

(2)、分别计算两种赛制下 $A$ 获得冠军的概率（用 $p$ 表示），并分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？

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3、某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前 $x (x \in N^{*})$ 年的支出成本为 $(10 x^{2} - 2 x)$ 万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额 $= \frac{总盈利额}{年度}$ ）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.

(1)、设前 $x$ 年的总盈利额为 $y$ （不含设备处理收益），写出方案一中 $y$ 与 $x$ 的函数关系式

(2)、哪种方案较为合理？并说明理由.

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4、解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示）

(1)、 $2 x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$

(2)、 $x^{2} - x - 6 > 0$

(3)、 $- x^{2} + 2 x - 1 < 0$

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5、如图，已知矩形 $U$ 表示全集， $A ､ B$ 是 $U$ 的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $A \cap (∁_{U} B)$ D、 $B \cap (∁_{U} A)$

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6、在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以 $\frac{1}{2}$ 的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过 $- 2$ 或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件 $\{A_{n}\}$ 表示“机器人的前 $n$ 次移动均未向雷达发送信息”.

(1)、求 $P (A_{2})$ ， $P (A_{4});$

(2)、已知①②两个结论：① $P (A_{n + 2} |A_{n}) < \frac{3}{4}$ ；②设 $\{X_{n}\} (n \in N^{*})$ 是一列无穷个事件，若存在正数 $N$ ，对于任意的 $n$ 均有 $\sum_{i = 1}^{n} P (X_{i}) < N$ ，则“ $\{X_{n}\}$ 中只有有限个事件同时发生”的概率为1.
（i）证明： $\sum_{i = 1}^{n} P (A_{2 i}) < 3$ 事件；“雷达会收到信息”的概率为1；
（ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{2 - x} + a x + \frac{b}{x - 1}$ .

(1)、若 $b = 0$ ，且 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求a的最小值；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 是中心对称图形；

(3)、若 $f (x) > e^{2} - 1$ 当且仅当 $1 < x < 2$ ，求b的取值范围.

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，公差不为 $0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{7}$ 构成等比数列， $S_{3} = 12$ .

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $b_{1} = \frac{1}{3}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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9、若函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ 的最小值为2，则实数a的值是.

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10、已知 $P (A) = 0.9$ ， $P (\bar{B} |A) = 0.6$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = 0.5$ ，则 $P (A |\bar{B}) =$ .

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11、著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程 $x^{3} + y^{3} - 3 a x y = 0$ ，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”（如图），它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是（）

A、曲线C过点 $(\frac{3 a}{2}, \frac{3 a}{2})$ B、曲线C关于 $y = x$ 对称 C、若 $a = 2$ ，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3 D、若 $a = 2$ ，曲线C上任一点 $(x, y)$ 均满足 $- 2 < x + y \leq 6$

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12、有一组样本数据1，2，3，4，5，现加入两个正整数 $x$ ， $y$ 构成新样本数据，与原样本数据比较，下列说法正确的是（）

A、若平均数不变，则 $x + y = 6$ B、若极差不变，则 $x + y = 6$ C、若 $x + y = 6$ ，则中位数不变 D、若 $x + y = 6$ ，则方差不变

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13、如图所示，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是一块石材，测量得 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $A A_{1} = 13$ ．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（）

A、 $\frac{32 π}{3}$ ， 4 B、 $\frac{9 π}{2}$ ， 3 C、 $6 π$ ， 4 D、 $\frac{32 π}{3}$ ， 3

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14、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \sin 2 x$ 与 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的交点个数为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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15、 $(\sqrt{x} - 2) {(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、 $- 60$ B、 $- 20$ C、20 D、60

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (- 1, x),$ 若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b} .$ 则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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17、若复数 $z$ 满足 $(z - 1) i + z = 0$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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18、若a＞b，c＞d，则（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、a－c＞b－d C、a－d＞b－c D、ac＞bd

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19、已知函数 $f (x) = 2 x \ln x - x^{2} + 1$ .

(1)、证明： $f (x) < 1$ ；

(2)、证明： $f (x)$ 在上 $(0, + \infty)$ 单调递减；

(3)、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ .

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20、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且椭圆 $E$ 过点 $A (2 ， 0)$ ，过点 $A$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、已知 $P$ 为 $A B$ 的中点，是否存在定点 $Q$ ，对于任意的 $k (k \neq 0)$ 都有 $\vec{O P} ⊥ \vec{C Q}$ ，若存在，求出点 $Q$ 的坐标：若不存在说明理由．

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