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1、已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 的奇函数， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且当 $x < 0$ 时， $\frac{f^{'} (x)}{f (x)} > 0$ 恒成立.若关于 $x$ 的方程 $f (1 - a x) = f (\sqrt{- x})$ 有解，则正实数 $a$ 的取值范围为.

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2、若 $tan α = 2$ ， $tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $sin 2 β =$ .

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3、若 $0 < a < b < 1$ ，则下列不等式一定成立的是（　　）

A、 $a^{b} < b^{a}$ B、 $a^{b} b^{a} < a^{a} b^{b}$ C、 $a^{a} < b^{b}$ D、 $a^{a} + b^{b} > 1$

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4、设 $k \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} + k e^{- x} ，$ 则下列结论正确的是（）

A、若 $k = 1$ ，则 $f (x)$ 为偶函数 B、若 $k > 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{k}$ C、若 $f (x)$ 为增函数，则 $k$ 的取值范围为 $(- \infty, 1)$ D、若曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = l n 2$ 对称，则 $k = 4$

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5、下列说法正确的是（）

A、 $\sin 2 \cos 3 > 0$ B、终边落在直线 $x + y = 0$ 上的角的集合是 ${α | α = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in Z}$ C、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的面积为 $\frac{3 π}{2}$ ，则扇形的弧长为 $π$ D、函数 $y = tan (2 x - \frac{π}{6})$ 的定义域为 ${x | x \neq \frac{π}{3} + \frac{k π}{2}, k \in Z}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |ln x|, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - |x - k|$ 恰有2个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, e)$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[e, + \infty)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup [1, + \infty)$

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7、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = \{\begin{matrix} {l o g}_{2} (2 - x), x \leq 0 \\ f (x - 3), x > 0 \end{matrix} ，$ 则 $f (2026)$ 等于（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8、函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) \cdot e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9、下列函数中既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = 2^{| x |}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \sqrt[3]{x}$

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10、设全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{0, 1, 4\}$ ， $B = \{0, 1, 3\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \{0, 1\}$ B、 $∁_{U} B = \{4\}$ C、 $A \cup B = \{0, 1, 3, 4\}$ D、集合A的真子集个数为 $8$

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11、设集合 $A = \{2, x, x^{2}\}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $x$ 的值为

A、 $- 1$ B、 $\pm 1$ C、 $1$ D、 $0$

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12、已知直线 $k x - y - k - 1 = 0$ 和以 $M (- 3, 1)$ ， $N (3, 2)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $- \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$ B、 $- 2 \leq k \leq \frac{2}{3}$ C、 $k \leq - \frac{1}{2}$ 或 $k \geq \frac{3}{2}$ D、 $k \leq - 2$ 或 $k \geq \frac{2}{3}$

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13、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为 $2$ ，侧棱长为 $2$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $A_{1} C_{1}$ 上是否存在一点 $E$ ，使得点 $B_{1}$ 到平面ADE的距离为 $\frac{8 \sqrt{37}}{37}$ ?若存在，请求出 $\frac{A_{1} E}{A_{1} C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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14、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标是 $(1 ， 0)$ ，短轴长是长轴长的 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(0, - 1)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点，与 $x$ 轴交于 $P$ 点，点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $T$ ，直线 $D T$ 交 $x$ 轴于 $Q$ 点，求证： $|O P| \cdot |O Q|$ 为定值；

(3)、设椭圆 $E$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，直线 $m$ 交椭圆 $E$ 于 $M, N$ 两点（ $M, N$ 与 $A, B$ 均不重合），记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} - 2 k_{2} = 0$ ，设 $△ A M N$ ， $△ B M N$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，满足 $S_{n + 1} = 3 S_{n} + n + 1 (n \in N^{*}) .$

(1)、证明数列 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{3} (2 a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{\frac{(2 a_{n} + 1) (2 n - 1)}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n} .$

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16、社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者
年轻人
总计
喜欢阅读电子书
24
30
喜欢阅读纸质书
12
总计
60

(1)、请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 $90 %$ 的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；

(2)、若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d .$
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
$0.10$
$0.05$
$0.010$
$0.005$
$χ_{0}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 4$ ， $\frac{1}{tan B} + \frac{1}{tan C} = 1$ 且 $cos B cos C = \frac{1}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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18、若直线 $y = x + 2 a$ 与曲线 $y = \ln (x + b)$ 相切，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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19、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$ ， $a_{5} = a_{4} + 2 a_{3}$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ .

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20、已知F是抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线l为抛物线C的准线，过点F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与C相交于 $A$ ， $B$ 两点， $l_{2}$ 与C相交于 $D$ ， $E$ 两点，则（）

A、 $|A B|$ 的最小值为2 B、以线段AB为直径的圆与直线l相切 C、 $|A B| + |D E|$ 的最小值为16 D、 $△ A E F$ 和 $△ B D F$ 面积之和的最小值为8

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	年长者	年轻人	总计
喜欢阅读电子书		24	30
喜欢阅读纸质书	12
总计			60

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.005$
$χ_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$