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相关试卷

1、为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三人恰好参加同一个社团的概率为.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a^{2} = 2 b c \sin A$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{4}$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{b c}{a}$ C、 $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 取得最小值时， $A = \frac{π}{3}$ D、 $A = \frac{π}{4}$ 时， $\frac{c}{b} + \frac{b}{c}$ 值为 $2 \sqrt{2}$

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3、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{2}$ ， $B C = 1$ ， $D$ 为 $A C$ 中点，若将 $△ B C D$ 沿着直线 $B D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ ，使得四面体 $C^{'} - A B D$ 的外接球半径为 $1$ ，则直线 $B C^{'}$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4、秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对应的边，其公式为： $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{{(b c)}^{2} - {(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2})}^{2}}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{{(a c)}^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}}$ 若 $c^{2} = \frac{2 \sin C}{\sin A}$ ， $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $a > b > c$ ，则利用“三斜求积术”求 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5、已知点 $A (1, 1)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 1)$ ．则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ B、 $(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{3 \sqrt{10}}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{3}{5})$

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6、某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（）

A、恰有1名女生和恰有2名女生 B、至少有1名男生和至少有1名女生 C、至少有1名女生和全是女生 D、至少有1名女生和至多有1名男生

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7、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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8、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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10、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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11、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如下，则下面判断正确的是（）

A、在区间 $(- 2, 1)$ 上 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1, 2)$ 上 $f (x)$ 是减函数 C、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值 D、在 $(4, 5)$ 上 $f (x)$ 是增函数

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12、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 4) ， \vec{b} = (- 1, 5, - 2) ， \vec{c} = (1, 4, λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{0}$

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14、已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 1|$ ， $a \in R$ ．
（1）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解；
（2）对任意 $m \in (0, 3)$ ．关于x的不等式 $f (x) < m + \frac{1}{m} + 2$ 总有解，求实数a的取值范围．

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15、多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧 $\overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{A D}$ 和两条线段 $A B, C D$ 四部分组成，在极坐标系 $O x$ 中， $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{7 π}{36}$ ， A､O､B三点共线. $A (20, \frac{7 π}{72})$ ，点C在半径为1的圆上.

(1)、分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；

(2)、若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
注： $\sin \frac{7 π}{72} \approx 0.3$ ， $\cos \frac{7 π}{72} \approx 0.95$

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的长轴为双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

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17、灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、若满足 $P (X \geq n) \leq 0.6$ 的n的最小值为 $n_{0}$ ，求 $n_{0}$ ；

(3)、在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较 $n = n_{0} - 1$ 与 $n = n_{0}$ 哪种方案更优.

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18、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
（1）B的大小；
（2） $△ A B C$ 的面积．
条件①： $b^{2} + \sqrt{2} a c = a^{2} + c^{2}$ ；条件②： $a \cos B = b \sin A$ ．

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19、已知a，b， $c \in (1, + \infty)$ ，且 $a - \ln a = 2$ ， $b - \frac{1}{2} = \ln b + 2 \ln 2$ ， $c - \sin 1 = \ln c + \tan 1$ ，其中e是自然对数的底数，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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20、如图， $△ A B C$ 中 $A B = 1, A C = 3, ∠ B A C = 60 °$ ， AD为BC边上的中线，点E，F分别为边 $A B, A C$ 上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1．

(1)、已知 $A F = 2$ ，请用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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