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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2 A C, ∠ A B C = 30^{°}, D, E$ 分别为棱PC，PB的中点.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若 $P A = A C$ ，求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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2、已知向量 $\vec{a} = (\cos x + \sin x, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos x - \sin x, \sin 2 x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心坐标和对称轴方程．

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3、已知 $A B$ 是球O的直径， $A B = 4$ ， C，D是球面上两点， $C D ⊥ A B$ ， $C D = 2$ ， $A B$ 与平面 $C O D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积为.

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4、已知 $α \in (0, π)$ ， $\tan 2 α = \frac{\sin α}{1 + \cos α}$ ，则 $α =$ ．

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5、某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为．

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6、已知O是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若O为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 3$ D、若 $\vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \sin B} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} | \sin C}) (λ \in R)$ ，则点O的轨迹经过 $△ A B C$ 的重心

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7、如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（）

A、圆锥的母线长为 $8 \sqrt{2}$ B、圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ C、当三棱锥 $B - A C M$ 的体积最大时， $O C ⊥ A B$ D、若 $\overset{⌢}{A C} = \frac{1}{3} \overset{⌢}{A B}$ ，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$

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8、今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（）

A、小王和小张都中奖的概率为0.1 B、小王和小张都没有中奖的概率为0.46 C、小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44 D、小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92

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9、如图所示直三棱柱 $A B C - D E F$ 容器中， $A B = B C$ 且 $A B ⊥ B C$ ，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, 0 \leq φ \leq π)$ 的部分图象如图所示，且 $f (0) = 1$ ，则（）

A、 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = 2 sin (x + \frac{π}{6})$

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11、下列说法正确的是（）

A、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B、棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D、用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

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12、中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K = \frac{f^{″} (x)}{{\{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}\}}^{\frac{3}{2}}}$ ．

(1)、若曲线 $f (x) = e^{x} + x + 1$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} + 1$ 在 $(0, 2)$ 处的曲率分别为 $K_{1}$ ， $K_{2}$ ，求证： $K_{2} > K_{1}$ ；

(2)、求曲线 $h (x) = \sin x + \cos x (x \in R)$ 曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值．

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13、已知A，B两点的坐标分别为 $(- 1, 0)$ ， $(1, 0)$ ．直线AM与BM交于点M，且它们的斜率之积是3．

(1)、求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)、过点 $P (1, 1)$ 的直线与点M的轨迹所在的曲线相交于C，D两点，P能否是线段CD的中点?为什么?

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14、如图1，已知直角梯形AEFD中， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ，点B，C分别在AE，DF上，且 $B C ⊥ A E$ ， $\vec{E F} \cdot \vec{C E} = 0$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $E F = 2$ ，将图1沿BC翻折，使平面 $A B C D ⊥$ 平面BEFC得图2．

(1)、在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $A B = B E$ 时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值．

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15、已知函数 $f (x) = 3 \cos^{2} (x - \frac{π}{3}) + \sin^{2} (x - \frac{π}{3}) - 2 \sin^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ 上的最大值为2，求t的取值范围．

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16、某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
选科类别
是否选择生物
合计
选择生物
不选择生物
物理类
100
60
160
历史类
15
25
40
合计
115
85
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联?

(2)、现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数 $X$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17、已知抛物线 $C : y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ，准线与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，点 $M$ 在 $C$ 上，且 $|M P| = \sqrt{2} |M F|$ ，则 $△ M F P$ 的面积为．

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B D = \sqrt{2} C D = 2 \sqrt{2} A A_{1}$ ，则直线 $B C_{1}$ 与平面 $C C_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为．

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19、数据： $35$ ， $54$ ， $80$ ， $86$ ， $72$ ， $85$ ， $58$ ， $53$ ， $46$ ， $66$ 的第 $25$ 百分位数为．

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20、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，我们发现可以推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，下列说法正确的是（）

A、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 的对称中心为 $(1, 1)$ B、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 的对称中心为 $(1, - 1)$ C、类比上面推广结论：函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + 2)$ 为偶函数 D、类比上面推广结论：函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 2$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + 2)$ 为偶函数

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选科类别	是否选择生物		合计
选科类别	选择生物	不选择生物	合计
物理类	100	60	160
历史类	15	25	40
合计	115	85	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828