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相关试卷

1、中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 $P - A B C D$ ，其中 $A B = A D = A P = 2$ ， $C B = C D = C P = 4$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{5}$ ，且二面角 $P - A C - B$ 为 $\frac{2 π}{3}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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2、已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $(a + b) (sin B - sin A) = c [sin (A + B) - sin A]$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{A D} = - 2 \vec{C D}$ ， $|\vec{B D}| = |\vec{A D}|$ ，求 $\frac{c}{a}$ .

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3、随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近5年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
广告费投入 $y$
4.8
5.6
6.2
7.6
8.8
并随机调查了200名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表
认可
不认可
50岁以下市民
70
30
50岁以上市民
60
40

(1)、求广告费投入 $y$ 与年份代号 $x$ 之间的线性回归方程；

(2)、是否有90%的把握认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度具有相关性？

(3)、若以这200名市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度情况估计整体情况，则从全市市民中随机选取20人，记选到认可该品牌新能源汽车且50岁以上的市民人数为 $X$ ，求 $X$ 数学期望与方差.
附：①回归直线中 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (k^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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4、若不等式 $e^{m x} (m x - \ln 2) - x \ln x^{2} \geq 0$ ，对任意 $x \in [\frac{1}{e}, + \infty)$ 恒成立，则正实数 $m$ 的取值范围是.

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5、函数 $f (x) = \ln \frac{m - x}{2 + x}$ 的图象过原点，且 $g (x) = \frac{e^{λ x} - e^{- λ x}}{2} + f (x) + m$ ，若 $g (a) = 6$ ，则 $g (- a) =$ .

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6、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{2024} x^{2024}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2024} =$ .

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7、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 2, a_{3} + a_{4} + a_{5} = 4$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ .

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8、六氟化硫，化学式为 ${SF}_{6}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体 $E - A B C D - F$ 的棱长为 $a$ ，下列说法中正确的个数有（）
①异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 $3 \sqrt{3}$ ；
③若点 $P$ 为棱 $E B$ 上的动点，则 $A P + C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} a$ ；
④若点 $O$ 为四边形 $A B C D$ 的中心，点 $Q$ 为此八面体表面上动点，且 $|O Q| = \frac{a}{2}$ ，则动点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} a π$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $O$ 为坐标原点，点 $M$ 为双曲线渐近线上一点且满足 $|M F_{1}| = |O M|$ ，过 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交渐近线于点 $N$ ，已知 $|M F_{1}| = \frac{\sqrt{5}}{4} |N F_{1}|$ ，则其离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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10、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 满足 $2 \vec{A E} = 3 \vec{E B}$ ，在平面 $A B C D$ 中，动点 $P$ 满足 $\vec{P E} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{D P} \cdot \vec{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{41} + 4$ B、 $\sqrt{41} - 6$ C、 $2 \sqrt{13} + 4$ D、 $2 \sqrt{13} - 6$

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11、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称；
②函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{13 π}{24}]$ 上的值域为 $[0, 2]$ ；
④若把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，则所得函数是 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{12})$

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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12、成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（）

A、 $\frac{24}{55}$ B、 $\frac{28}{55}$ C、 $\frac{8}{11}$ D、 $\frac{27}{55}$

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13、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $l ⊥ m$ ，则 $l ⊥ β$

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14、在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{cos α - sin α} =$ （）

A、11 B、 $- 10$ C、10 D、 $- 11$

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15、已知 $a = {log}_{3} 0.2, b = 3^{0.2}, c = {0.3}^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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16、若复数 $z = \frac{i}{2 - i}$ ，其中i为虚数单位，则共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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17、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 4 x > 0\}, N = {x ∣ 2 < x < 8}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(4, 8)$ D、 $(2, 4)$

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 3)$ ，若实数λ满足 $(λ \vec{b} - \vec{a}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- 1$ D、1

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19、（1）已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．求函数 $f (x)$ 的最小正周期及在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；
（2）已知 $0 < α < \frac{π}{2} < β < π, \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}, \cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求 $β$ 的值.

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20、某中学 $400$ 名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了 $100$ 名学生，记录他们的分数，将数据分成 $7$ 组： $[20,30),[30,40), \dots,[80 .90]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、根据频率分布直方图求出分数大于 $70$ 的频率与频数；

(2)、根据频率分布直方图求样本中 $75 %$ 分位数；

(3)、已知样本中男生与女生的比例是 $3 ： 1$ ，男生样本的均值为 $70$ ，方差为 $10$ ，女生样本的均值为 $80$ ，方差为 $14$ ，请计算样本的均值与方差.

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$P (k^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

年份代号 $x$	1	2	3	4	5
广告费投入 $y$	4.8	5.6	6.2	7.6	8.8

	认可	不认可
50岁以下市民	70	30
50岁以上市民	60	40