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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A$ 交 $C$ 的准线于点 $D$ ．

(1)、当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求 $|A B|$ ；

(2)、求直线 $B D$ 的斜率；

(3)、若 $O$ ， $F$ ， $B$ ， $D$ 四点共圆，求该圆的半径．

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2、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \sin B = b \sin 2 A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} = 15$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3、已知函数 $f (x) = |\ln x|$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $A$ ， $B$ 两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为 $H$ ，两切线分别交 $y$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点，设△ $C D H$ 面积为 $S$ ，若 $S < λ$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为．

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4、围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有 $6$ 枚黑色棋子和 $2$ 枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a} (x \neq 0)$ 满足 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ ，则实数 $a =$ ．

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6、“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线 $C :$ ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = {(4 x y)}^{2}$ ，其形态极像“四叶草”，设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为 $C$ 上异于原点的一点，过点 $P$ 作直线 $O P$ 的垂线交坐标轴于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $C$ 有4条对称轴 B、 $C$ 围成的面积大于 $4 π$ C、 $|A B| = 4$ D、 $△ O A B$ 的面积最大值为4

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7、已知函数 $f (x) = \cos (\sin x) - \sin (\cos x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 图象关于 $y$ 轴对称 B、 $2 π$ 是 $y = f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 单调递减 D、 $f (x)$ 图象恒在 $x$ 轴的上方

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8、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ B、 $P (B | A) = \frac{1}{2}$ C、 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{12}$ D、 $P (A + B) = \frac{5}{6}$

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9、从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知一个圆锥的顶点和底面圆都在球 $O$ 的球面上，若圆锥的母线与球 $O$ 的半径之比为 $\sqrt{3}$ ，则圆锥与球 $O$ 的体积之比等于（）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{32}$ C、 $\frac{9}{32}$ D、 $\frac{3}{8}$

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11、已知点 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ ，当点 $P$ 的纵坐标是 $\frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 到坐标原点的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $1$

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12、已知函数 $f (x) = x^{α} - 1$ （ $α > 0$ ），实数 $m$ ， $n$ 满足 $f (m) + f (n) = 4$ ， $f (m) f (n) = 3$ ，则 $f (m n) =$ （）

A、 $1$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $12$

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13、某次测试成绩 $X ~ N (105, 225)$ ，记成绩 $120$ 分以上为优秀，则此次测试的优秀率约为（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .

A、 $31.73 %$ B、 $15.87 %$ C、 $4.55 %$ D、 $2.28 %$

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14、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {y |y = 3 x + 1, x > 0}$ ，则（）

A、 $- 1 \in A \cap B$ B、 $0 \in A \cap B$ C、 $1 \in A \cap B$ D、 $2 \in A \cap B$

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15、复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知向量 $\vec{a} = (0, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = P A = 4$ ， $A B = B C = 2$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ．

(2)、若 $Q$ 为线段 $P C$ 的中点，求平面 $P A D$ 与平面 $Q A D$ 的夹角的余弦值．

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A B$ ， $B C$ 的中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，且 $D M = 1$ ， $D N = 2$ ， $∠ M D N = 60 °$ .

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{D M}$ ， $\vec{D N}$ ；

(2)、①求 $|\vec{a}|$ ， $|\vec{b}|$ 的值；②设 $O$ 为 $△ A D M$ 的内心，若 $\vec{A O} = x \vec{a} + y \vec{b} (x, y \in R)$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的值.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，条件①： $(b + c) (sin B + sin C) = a sin A + 3 b sin C$ ；条件②： $2 c - b = 2 a cos B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $16 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的最小值.

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20、若向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ，则与 $\vec{a}$ 垂直的一个单位向量 $\vec{b} =$ .

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