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相关试卷

1、 $\sin 20 ° \cos 10 ° + \sin 10 ° \sin 70 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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2、阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 $G$ ： $A x^{2} + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$ ，则称点 $P (x_{0}, y_{0})$ 和直线 $l$ ： $A x_{0} x + C y_{0} y + D (x + x_{0}) + E (y + y_{0}) + F = 0$ 是圆锥曲线 $G$ 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 $x_{0} x$ 替换 $x^{2}$ ，以 $\frac{x_{0} + x}{2}$ 替换 $x$ ；以 $y_{0} y$ 替换 $y^{2}$ ，以 $\frac{y_{0} + y}{2}$ 替换 $y$ ，即可得到 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程.特别地，对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ；对于双曲线 $\frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ；对于抛物线 $y^{2} = 2 p x$ ，与点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为 $y_{0} y = p (x_{0} + x)$ .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当 $P$ 在圆锥曲线 $G$ 上时，其极线 $l$ 是曲线 $G$ 在点 $P$ 处的切线；②当 $P$ 在 $G$ 外时，其极线 $l$ 是从点 $P$ 向曲线 $G$ 所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当 $P$ 在 $G$ 内时，其极线 $l$ 是曲线 $G$ 过点 $P$ 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆 $G$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ .

(1)、点 $P$ 是直线 $l$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 上的一个动点，过点 $P$ 向椭圆 $G$ 引两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，是否存在定点 $T$ 恒在直线 $M N$ 上，若存在，当 $\vec{M T} = \vec{T N}$ 时，求直线 $M N$ 的方程；若不存在，请说明理由.

(2)、点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，过点 $P$ 作椭圆 $G$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} a_{n + 2} = a_{n + 1}^{2}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} a_{3} = 243$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ ．

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4、用平面 $α$ 截圆柱面，圆柱的轴与平面 $α$ 所成角记为 $θ$ ，当 $θ$ 为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家 $D a n d e l i n$ 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 $α$ 的上方和下方，并且与圆柱面和 $α$ 均相切．下列结论中正确的有（）

A、椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等 B、椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 $O_{1} O_{2}$ 相等 C、所得椭圆的离心率 $e = cos θ$ D、其中 $G_{1} G_{2}$ 为椭圆长轴， $R$ 为球 $O_{1}$ 半径，有 $R = A G_{1} \cdot tan \frac{θ}{2}$

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5、有 $9$ 名歌舞演员，其中 $7$ 名会唱歌， $5$ 名会跳舞，从中选出 $2$ 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（）

A、 $19$ 种 B、 $26$ 种 C、 $32$ 种 D、72种

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6、设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则（）

A、 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ B、 $S_{2} < S_{1} < S_{3}$ C、 $S_{3} < S_{1} < S_{2}$ D、 $S_{3} < S_{2} < S_{1}$

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7、已知复数z满足 $z + 3 = 4 \bar{z} + 5 i$ ， $i$ 是虚数单位，则 $z^{2} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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8、设集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x| y = l n (2 - x)\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $[－ 3 ， 2)$ B、 $(2 ， 3]$ C、 $[－ l ， 2)$ D、 $(－ l ， 2)$

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9、南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为 $r$ ．

(1)、求图中四分之一圆柱体 $B B_{1} C_{1} - A A_{1} D_{1}$ 的体积；

(2)、在图中画出四分之一圆柱体 $B B_{1} C_{1} - A A_{1} D_{1}$ 与四分之一圆柱体 $A A_{1} B_{1} - D D_{1} C_{1}$ 的一条交线（不要求说明理由）；

(3)、四分之一圆柱体 $B B_{1} C_{1} - A A_{1} D_{1}$ 与四分之一圆柱体 $A A_{1} B_{1} - D D_{1} C_{1}$ 公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点 $M$ 在棱 $B B_{1}$ 上，设 $M B_{1} = h$ 过点 $M$ 作一个与正方体底面 $A C$ 平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；如果令 $r = 2$ ，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积．

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、 $C C_{1}$ 上是否存在一点 $F$ ，使得平面 $A E C / /$ 平面 $B F D_{1}$ ，若存在，请说明理由.

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, k)$

(1)、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求k；

(2)、若向量 $\vec{c} = (5, 1)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} - \vec{c}$ 共线，求 $|\vec{a} + 4 \vec{b}|$ .

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12、已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $S A = B C = 2$ ， $S B = A C = \sqrt{7}$ ， $S C = A B = \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的表面积是．

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13、下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面向量的一组基底 B、在 $△ A B C$ 中， $b = 11$ ， $a = 20$ ， $B = 30 °$ ，则这样的三角形有两个 C、已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，其直观图的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、已知 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (k, 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，则k的取值范围为 $(- \infty, - \frac{1}{6})$

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M，N分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点，P在线段 $C_{1} D_{1}$ 上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（）.

A、存在点P，使得 $P M$ 与 $B C_{1}$ 异面 B、三棱锥 $C - M N P$ 的体积与P点位置无关 C、若P为 $C_{1} D_{1}$ 中点，三棱锥 $C - M N P$ 的体积为 $\frac{3}{4}$ D、若P与 $D_{1}$ 重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形

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15、武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度 $A B$ ，在地面上共线的三点 $C$ ， $D$ ， $E$ 处分别测得点 $A$ 的仰角为 $30 °$ ， $45 °$ ， $60 °$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则武灵丛台的高度 $A B$ 约为（）
（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

A、22m B、27m C、30m D、33m

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16、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，且 $B D = 2 C D$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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17、已知函数 $f (x) = |x - 2| + m |x + 1|$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 8$ 的解集；

(2)、若 $m = 1, a > 0, b > 0, a^{3} + b^{3} = \frac{27}{4}$ ，证明： $f (x) \geq a + b$ .

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18、在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = 1 + cos α \\ y = sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $C_{2} : ρ cos θ - ρ sin θ + 2 = 0$ 与坐标 $x, y$ 轴分别交于 $A, B$ 两点.点 $P$ 在线段 $A B$ 是运动（不包括端点），射线 $O P$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $\frac{π}{2}$ ，与曲线 $C_{1}$ 交于 $O 、 Q$ 两点.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求出 $A, B$ 两点的极坐标；

(2)、当 $△ O P Q$ 面积为1时，求 $P$ 点的直角坐标.

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19、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ .

(1)、若函数 $h (x) = a g (x - 1) - \frac{x + 1}{x - 1}$ ， $a \in R$ ，讨论函数 $h (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $\frac{1}{4} (2 x - 1) f (2 x) - f (x) > 2 g (x) - 2$ .（参考数据： $e^{\frac{4}{5}} \approx 2.23$ ， $e^{\frac{1}{2}} \approx 1.65$ ）

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20、已知椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $(\sqrt{3}, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、在直线 $y = - 4$ 上任取一点 $M$ ，设长轴上的两个顶点为 $A, B$ ，连接 $M A, M B$ 分别交椭圆于 $C, D$ 两点，证明：直线 $A D 、 B C$ 的交点在直线 $y = - 4$ 上.

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