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相关试卷

1、 $△ A B C$ 的内角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a ､ b ､ c, a = \sqrt{3}, b = 1, A = 2 B$ ，则 $c =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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2、已知两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3、已知直线 $m$ $∥$ 平面 $α$ ，直线 $n ⊥$ 平面 $β$ ，则“ $m$ $∥$ $n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、在复平面内， $2 \bar{z} + z i = 3 + 3 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则复数 $z$ 的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1}$ 与 $B B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ， $A B = A C = A_{1} B = 2$ ， $A_{1} C = B C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} A B B_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、若点N在棱 $A_{1} C_{1}$ 上，求直线AN与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值的最大值．

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6、为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．

(1)、根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望．

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7、若关于 $x$ 的方程 $x (a e^{x} + x) = e^{2 x}$ 存在三个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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8、甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为．

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9、写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：，
① $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；②当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x)$ 为增函数；③ $f (x)$ 为R上偶函数.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{1}{a_{n}} = 4 + \frac{4}{\sqrt{a_{n - 1}}} + \frac{n}{2 a_{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则（）

A、 $S_{2024} \in (1, \frac{3}{2})$ B、 $S_{2024} \in (\frac{3}{2}, 2)$ C、 $S_{2024} \in (2, \frac{5}{2})$ D、 $S_{2024} \in (\frac{5}{2}, 3)$

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11、三个相同的圆柱的轴线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，互相垂直且相交于一点O，底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P同时在三个圆柱内（含表面），则OP长度最大值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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12、已知集合 $A = \{x |x = 3 n, n \in Z\}, B = \{x |0 \leq x \leq 6\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${3, 6}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 3, 6}$

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，点 $N$ 在边 $C D$ 上．

(1)、若点 $N$ 为线段 $C D$ 上靠近 $D$ 的三等分点，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值；

(2)、求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围．

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14、如图，点 $P$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一个动点，直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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15、如图，设 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，当 $∠ x O y = θ$ 时，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 的斜坐标系．在 $θ$ 的斜坐标系中，任意一点 $P$ 的斜坐标这样定义：设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是分别与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向相同的单位向量，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ ．下列结论正确的是（）

A、设 $\vec{a} = (m, n)$ ， $\vec{b} = (s, t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m n + s t = 0$ B、设 $\vec{a} = (m, n)$ ， $\vec{b} = (s, t)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m t - n s = 0$ C、设 $\vec{a} = (m, n)$ ，则 $|\vec{a}| = \sqrt{m^{2} + n^{2}}$ D、设 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $θ = \frac{π}{3}$

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16、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，当点 $M$ 在线段 $B_{1} D_{1}$ （不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线 $O M$ 异面的是（）

A、 $B_{1} C_{1}$ B、 $A_{1} B$ C、 $C D_{1}$ D、 $A_{1} A$

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17、正方体的平面展开图如图所示， $A B$ ， $C D$ ， $E F$ ， $G H$ 为四条对角线，则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ，点 $(\sqrt{3}, 2)$ 在双曲线C上.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、如图，过双曲线C右支上一点P作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 2$ 的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线 $P Q$ 与圆O切于点M.
①求证：Q、R两点关于原点O对称；
②判断 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的取值范围.

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19、设 $A_{0}$ 是一个项数为 $n (n \geq 2)$ 的数列，其中每一项均为集合 $\{0, 1, 2\}$ 中的元素.定义数列 $A_{j} (j \in N^{*})$ 如下：若 $A_{j - 1} : x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，则 $A_{j} : y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，其中，当 $x_{i} = x_{i + 1}$ 时， $y_{i} = x_{i}$ ，当 $x_{i} \neq x_{i + 1}$ 时， $y_{i} = x_{i}^{2} + x_{i} x_{i + 1} + x_{i + 1}^{2} - 4 (x_{i} + x_{i + 1}) + 5, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{n + 1} = x_{1}$ .

(1)、若数列 $A_{0} : 0, 1, 2$ ，求数列 $A_{3}$ ；

(2)、若存在 $m \in N^{*}$ ，对任意 $A_{0}$ ，均有数列 $A_{m}$ 与 $A_{0}$ 为同一数列，则称 $m$ 为数列组 $\{A_{i}\}$ 的一个周期.
（i）若 $n = 3$ ，求数列组 $\{A_{j}\}$ 的最小正周期；
（ii）若数列组 $\{A_{j}\}$ 存在周期，求 $n$ 的所有可能取值.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 a x + \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) \geq 2 \ln \frac{a}{2} - 6 a + 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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