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相关试卷

1、某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：
研究学科
性别
数学
物理
化学
生物
合计
女
15
10
24
31
80
男
45
40
18
17
120
合计
60
50
42
48
200
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（）

A、若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B、若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C、若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D、若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = n^{2} + λ n (λ \in R)$ ，若 $\exists p, q \in N^{*}$ 且 $p \neq q$ ，使得 $a_{p} = a_{q} = - 120$ ，则 $λ$ 的取值个数为（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $8$ 个 D、无数个

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3、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ， $A$ ， $B$ 是其一条渐近线上的两点，且 $|A B| = 2 a$ ，若 $△ A B F$ 的面积等于 $c$ ，则 $c$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4、已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1, b + c = 2, A = \frac{π}{4}$ ，则 $sin B + sin C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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5、若 ${sin}^{2} θ = cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 3$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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6、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为1，若将其截去三棱锥 $A - A_{1} B_{1} D_{1}$ ，则剩余部分几何体的体积为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7、已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (1, \sqrt{3})$ ，将 $\vec{O A}$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ 得到 $\vec{O A^{'}}$ ，则 $\vec{O A} - \vec{O A^{'}}$ 的模等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8、已知 $a \in R$ ，则“ $x^{2} + 2 x + a > 0$ 的解集为 $R$ ”是“ $a > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知集合 $A = \{x |3 < x < 6\}, B = \{x |x \leq 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |3 < x \leq 4\}$ B、 $\{x |x < 6\}$ C、 $\{x |4 \leq x < 6\}$ D、 $\{x |x \leq 4\}$

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10、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1}, a_{2}$ 为正整数， $a_{n} = |a_{n + 1} - a_{n + 2}|, n \in N^{*}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 1, a_{3} = 2$ ，求 $a_{4}$ ；

(2)、证明：“存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = 0$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 是周期为3的数列”的必要不充分条件；

(3)、若 $a_{1} \neq a_{2}$ ，是否存在数列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $a_{n} < 2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_{1}, a_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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11、已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ ，过点 $N (2, 0)$ 作两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交抛物线于 $A, B$ 和 $C, D$ （其中 $A, C$ 在 $x$ 轴上方）．

(1)、当 $l_{1}$ 垂直于 $x$ 轴，且四边形 $A C B D$ 的面积为 $4 \sqrt{5}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、当 $l_{1}, l_{2}$ 倾斜角互补时，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $M$ ，求 $△ M A B$ 的内切圆的圆心横坐标的取值范围．

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12、甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果是独立的．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，求甲最终获胜的概率；

(2)、为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{3}, ∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $E$ 为 $B C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 6$ ，求直线 $A_{1} B$ 与平面 $D B C_{1}$ 所成角的正弦值．

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, c^{2} = a^{2} + b^{2} - a b, cos 2 B = sin C$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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15、某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为．
人
题号
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×
×
√
√
2
×
√
×
√
√
√
3
√
×
×
√
×
×
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11

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16、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} a_{3} = 9, a_{2} + a_{4} = 9$ ，则 $a_{4} =$ ．

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17、 ${(2 x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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18、已知 $O (0, 0), A (a, 0), B (a, 1), C (0, 1), D (0, - 1)$ ，其中 $a \neq 0$ ．点 $M, N$ 分别满足 $\vec{A M} = λ \vec{A B}, \vec{O N} = (1 - λ) \vec{O A}$ ，其中 $0 < λ < 1$ ，直线 $C M$ 与直线 $D N$ 交于点 $P$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $C M$ 与直线 $D N$ 斜率乘积为 $- \frac{1}{a^{2}}$ B、当 $a = - 1$ 时，存在点 $P$ ，使得 $|D P| = 2$ C、当 $a = 2$ 时， $△ P A C$ 面积最大值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ D、若存在 $λ$ ，使得 $|D P| > 2$ ，则 $a \in (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, + \infty)$

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19、已知函数 $f (x) = sin x + sin 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、存在 $t \in R$ ，使得 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = t$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的最大值为 $2$

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20、一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}), i \in \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ ．其中 $x_{i} > 1895$ ， $\sum_{i = 1}^{100} x_{i} = 2 \times 10^{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{100} y_{i} = 970$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.02 x + \hat{a_{1}}$ ，残差为 $\hat{e_{i}}$ ．对样本数据进行处理： ${x^{'}}_{i} = ln (x_{i} - 1895)$ ，得到新的数据 $({x^{'}}_{i}, y_{i})$ ，求得其经验回归方程为： $\hat{y} = - 0.42 x + \hat{a_{2}}$ ，其残差为 ${\hat{u}}_{i}$ 、 $\hat{e_{i}}$ ， ${\hat{u}}_{i}$ 分布如图所示，且 $\hat{e} ~ N (0, σ_{1}^{2}), \hat{u} ~ N (0, σ_{2}^{2})$ ，则（）

A、样本 $(x_{i}, y_{i})$ 负相关 B、 $\hat{a_{1}} = 49.7$ C、 $σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}$ D、处理后的决定系数变大

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研究学科性别	数学	物理	化学	生物	合计
女	15	10	24	31	80
男	45	40	18	17	120
合计	60	50	42	48	200

人题号	赵	钱	孙	李	周	吴
1	√	√	×	×	√	√
2	×	√	×	√	√	√
3	√	×	×	√	×	×
4	√	×	×	×	√	×
5	×	×	√	√	√	√
得分	14	11	14	14	11