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相关试卷

1、如图所示的多面体是由正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和正四棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ （正四棱柱下底面与正四棱台上底面重合）构成．已知 $A B = 4, A A_{1} = A_{1} B_{1} = 2, A_{1} A_{2} = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ 是 $A_{1} A_{2}$ 上一动点．

(1)、证明： $B D ⊥ C_{1} M$ ；

(2)、若 $\vec{A_{2} M} = \frac{1}{4} \vec{A_{2} A_{1}}$ ，求直线 $C_{1} M$ 与平面 $B D D_{1}$ 所成角的余弦值．

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2、某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了60名学生进行视力测试，其中男生与女生的比例为 $2 : 1$ ，男生近视的人数占总人数的 $\frac{5}{12}$ ，男生与女生总近视人数占总人数的 $\frac{2}{3}$ .

(1)、完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关.
近视
不近视
合计
男
女
合计
60

(2)、按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人进行平时用眼情况调查，求选出的2人中女生人数 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$ .
$P (χ^{2} ⩾ k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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3、已知函数 $f (x) = | \sin ω x | + | \cos ω x | (ω > 0)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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4、已知点集 $C = \{(x, y) ∣ {(x - cos θ)}^{2} + {(y - sin θ)}^{2} = 4, 0 \leq θ \leq φ\}$ ，其部分图形如图中阴影所示，图形将平面剩余部分分成内外两部分（空白区域），下列说法正确的是（）

A、图形内部空白区域的面积最小值为 $π$ B、图形上的点到原点的最小距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、当 $φ = \frac{3 π}{2}$ 时，图形关于 $y = - x$ 对称 D、当 $φ = π$ 时，图形内外边界的长度和为 $8 π$

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5、已知点 $M$ 为直线 $l : x - y + 8 = 0$ 与 $y$ 轴交点， $P$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 45$ 上的一动点，点 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ ，则（）

A、 $|P M|$ 取得最小值时， $S_{△ A B P} = 6 \sqrt{5}$ B、 $M P$ 与圆 $O$ 相切时， $|P M| = \sqrt{19}$ C、当 $B P ⊥ M P$ 时， $\vec{A P} \cdot \vec{B M} = 0$ D、 $\sin ∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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6、魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率 $π$ 约等于 $\frac{355}{113}$ ，和 $π$ 相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知 $π$ 的近似值还可以表示成 $4 \sin 52 °$ ，则 $\frac{π \sqrt{16 - π^{2}}}{\cos^{4} 3.5 ° + \sin^{4} 3.5 ° - \frac{3}{4}}$ 的值约为（）

A、 $- 32$ B、 $- \frac{1}{32}$ C、 $32$ D、 $\frac{1}{32}$

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7、已知 $α$ 是第一象限角，且 $sin α + cos α = 3 cos α tan α$ ，则 $sin (α + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8、若复数z满足 $2 \bar{z} + i \cdot z = 4 + 5 i$ ，则z在复平面中对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知函数 $f (x) = (a x - 1) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 1$ ，求证：当 $x > - 1$ 时， $f (x) \geq e^{x} \ln (x + 1) - x - 1$ .

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10、某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织 $A$ 、 $B$ 两团体运动员进行比赛.其中 $A$ 团体的运动员3名，其中种子选手2名； $B$ 团体的运动员5名，其中种子选手 $m (1 \leq m \leq 5)$ 名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)、已知 $m = 2$ ，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体 $A$ 的概率；

(2)、已知 $m = 1$ ，设 $X$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $X$ 的分布列及其期望.

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11、已知集合 $A = \{y |y = 4 x - 16, x \in [2, 3]\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 3 x - a^{2} - 3 a > 0, a > 0\}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若命题“ $x \in A$ ”是命题“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = |x - a| + x + \frac{3}{x} + ||x - a| - x - \frac{3}{x} + 2|$ .若函数 $f (x) \geq 6$ 对一切 $x \in R^{+}$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = 3 \cdot 2^{x} + 2$ ，对于任意的 $x_{2} \in [0, 1]$ ，都存在 $x_{1} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) + 2 f (x_{2} + m) = 13$ 成立，则实数m的取值范围为．

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14、已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x > 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ ，则当 $x < 1$ 时的解析式 $f (x) =$ .

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15、信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 $X$ 所有可能的取值为1，2，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义 $X$ 的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .下列正确的为（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则 $H (X)$ 随着 $n$ 的增大而增大 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量 $Y$ 所有可能的取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则 $H (X) \geq H (Y)$

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16、“ $[x]$ ”表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[3.8] = 3$ ， $[- 1.4] = - 2$ ， $[- 4] = - 4$ .下列关于 $[x]$ 的性质的叙述中，正确的是（）

A、 $[x - y] \leq [x] - [y]$ B、若 $|\frac{[y]}{[x]}| \leq 1$ ，则 $|x - y| < 1$ C、若函数 $f (n)$ 的解析式为 $f (n) = [\sqrt{n (n + 1)}]$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\sum_{n = 1}^{64} f (n) = 2080$ D、 $M = [\frac{2}{3}] + [\frac{2^{2}}{3}] + [\frac{2^{3}}{3}] + \dots + [\frac{2^{2024}}{3}]$ 被3除余数为1

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17、设函数 $f (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且函数 $f (2 x - 1)$ ， $f^{'} (x - 2)$ 均为偶函数.若当 $x \in [1, 2]$ 时， $f^{'} (x) = a x^{3} + 4$ ，则 $f^{'} (90)$ 的值为（）

A、 $- 42$ B、 $- 35$ C、 $- 28$ D、 $- 21$

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18、若关于 $x$ 的不等式 $2 + ln x \leq a x + b \leq e^{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e}, 1]$ B、 $[1, \sqrt{e}]$ C、 $[1, e]$ D、 $[\frac{1}{e}, e]$

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19、函数 $y = \sin (2 x) \cdot \log_{2} |x|$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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20、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 < 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 < 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 6 \geq 0$

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$P (χ^{2} ⩾ k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

	近视	不近视	合计
男
女
合计			60