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相关试卷

1、雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度 $C D$ ，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $36 m$ ，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在B处测得塔顶部D的仰角为 $15 °$ ，则雷锋塔的高度约为（）

A、 $50 m$ B、 $62 m$ C、 $72 m$ D、 $88 m$

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2、下列各组向量中，能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ ＝（0，0）， $\vec{e_{2}}$ ＝（1，1） B、 $\vec{e_{1}}$ ＝（1，2）， $\vec{e_{2}}$ ＝（－2，1） C、 $\vec{e_{1}}$ ＝（－3，4）， $\vec{e_{2}}$ ＝（ $\frac{3}{5}$ ，－ $\frac{4}{5}$ ） D、 $\vec{e_{1}}$ ＝（2，6）， $\vec{e_{2}}$ ＝（－1，－3）

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3、密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

(1)、在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；

(2)、甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为 $X (X = 1, 2)$ ，求 $X$ 的分布列.

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4、已知函数 $f (x) = e^{2 x} - 2 (a + 1) e^{x} + 2 a x + 2 a + 1 (a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $sin B \cdot sin C = sin A$ ， $a = 2$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 12$ ，求 $A$ .

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6、现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是（用数字作答）.

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $△ A F_{1} B$ 为等边三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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8、若 $3 \cos α + 4 \sin α = 5$ ，则 $\tan α$ = ．

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9、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (x) + f (2 - x) = 2$ ， $g (x - 1)$ 为偶函数，则下列说法一定正确的是（）

A、 $f (0) + f (1) + f (2) = 3$ B、 $g (x + 4) = g (x)$ C、 $f (x + 4) = f (x)$ D、 $g (\frac{1}{2}) = g (\frac{3}{2})$

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10、在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是等腰梯形且与底面垂直， $A_{1} C_{1} = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $A C = B C = 3$ ， $A B = 3 \sqrt{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} A ⊥ B C$ B、 $V_{A_{1} - A B C} = 9 V_{B - A_{1} B_{1} C_{1}}$ C、 $V_{A_{1} - A B C} = 2 V_{B - A_{1} C C_{1}}$ D、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{13}{6}$

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11、现有甲、乙两组数据，甲组数据为： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{16}$ ；乙组数据为： $3 x_{1} - 9, 3 x_{2} - 9, \dots, 3 x_{16} - 9$ ，若甲组数据的平均数为 $m$ ，标准差为 $n$ ，极差为 $a$ ，第 $60$ 百分位数为 $b$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、乙组数据的平均数为 $3 m - 9$ B、乙组数据的极差为 $3 a$ C、乙组数据的第 $60$ 百分位数为 $3 b - 9$ D、乙组数据的标准差为 $n$

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12、记正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，已知 $(a_{n} - 1) T_{n} = 2 a_{n}$ ，若 $a_{n} < \frac{1001}{1000}$ ，则 $n$ 的最小值是（）

A、999 B、1000 C、1001 D、1002

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - a x + 1, x < a \\ {(x - 1)}^{2}, x \geq a \end{cases}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 0)$

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14、印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现 $30 + 25 = 55$ ， $55^{2} = 3025$ ，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、0

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15、函数 $f (x) = cos 2 x - cos x$ 是（）

A、偶函数，且最小值为－2 B、偶函数，且最大值为2 C、周期函数，且在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、非周期函数，且在 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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16、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 150^{\circ}$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$ C、向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ D、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b})$

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17、“ $2^{a} > 1$ ， ${log}_{2} b > 1$ ”是“ $2^{a + b} > 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = \{x \in Z | |x - 1| < 3\}$ ， $B = \{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 4}$

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19、已知复数 $z$ 满足 $\frac{\sqrt{3} - i}{z} = 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - 1 - x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明：
① $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；
② $k \in N^{*}$ 且 $k \leq n$ 时， $\sum_{i = k}^{n} \frac{1}{i} > \ln \frac{n + 1}{k}$ ；

(3)、判断 $\sum_{j = 0}^{n} \frac{1}{j!}$ 与 $\sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} {(\frac{1}{n})}^{i}$ 的大小关系，并证明．

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