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相关试卷

1、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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2、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3]$ ，则函数 $y = \frac{f (2 x - 1)}{lg (x - 1)}$ 的定义域为（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 5]$ D、 $(1, 2) \cup (2, 5]$

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3、已知 $a = sin \frac{π}{5}$ ， $b = {log}_{π} 0.2$ ， $c = π^{0.3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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4、已知命题 $p : \exists a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数解，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 \neq 0$ 有实数解 B、 $\forall a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 无实数解 C、 $\forall a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数解 D、 $\exists a \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 \neq 0$ 无实数解

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5、已知集合 $U = \{x \in N ∣ x \leq 6\}$ ， $A = \{2, 3, 4, 6\}$ ， $B = \{1, 3, 4\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{2, 6\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{3, 6\}$ D、 $\{2, 3, 6\}$

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6、已知向量 $\vec{a} = (cos x, 2 sin x)$ ， $\vec{b} = (2 cos x, \sqrt{3} cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{11}{5}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ，求 $cos 2 x_{0}$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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7、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上（正方形 $A B C D$ 内部，含边界），则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 16]$ B、 $[0, 16]$ C、 $(0, 4)$ D、 $[0, 4]$

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8、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．已知 $b = 2$ ， $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{3} sin C + cos C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 中 $A C$ 上的一点，且满足 $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B D}}{|\vec{B A}|} = \frac{\vec{B D} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|}$ ，求 $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 的面积之比 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}}$ 的取值范围．

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9、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A D$ ， $O$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ D O C$ 沿 $O C$ 折起，使 $D$ 位于 $P$ 处，且 $∠ P A O = 45 °$ ．

(1)、求证： $O P ⊥$ 平面 $A B C O$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $P A B$ 所成的角的大小．

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10、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ．

(1)、求证： $A_{1} C$ ∥平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - A B_{1} D$ 的体积．

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11、如图，平面四边形 $A B C D$ 由等腰 $△ A B D$ 与等边 $△ B C D$ 拼接而成，其中 $∠ A B D = 30 °$ ， $A B = A D$ ， $B C = 6$

(1)、求 $\vec{C A} \cdot \vec{A D}$ 的值；

(2)、若 $\vec{B P} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1)$ ，当 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 取得最小值时，求 $λ$ 的值．

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12、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + m (m + 1) i$ ．

(1)、当实数 $m$ 取何值时， $z$ 是实数；

(2)、当 $m = 1$ 时，复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数 $p, q$ 的值.

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13、已知圆O的半径为1， $P A$ ， $P B$ 为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 $\overset{⃑}{P A} \cdot \overset{⃑}{P B}$ 的最小值是___________

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14、棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体的外接球的表面积为.

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15、在 $△ A B C$ 中，若 $a \sin B + b \cos A = c$ ，则 $B =$ .

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16、已知 $z$ 是复数，且 $\frac{z + 1}{z - 1}$ 为纯虚数，则（）

A、 $|z| = 1$ B、 $z \cdot \bar{z} = 1$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在实轴上 D、 $|z - 2 - 2 i|$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$

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17、在边长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是一个动点，且 $B M / /$ 平面 $A D_{1} C$ ，则线段 $D M$ 的长度可能是（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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18、关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ D、点 $A (1, 3)$ ， $B (4, - 1)$ ，与向量 $\vec{A B}$ 同方向的单位向量为 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{3})$ 上存在最值，且在 $(\frac{2 π}{3}, π)$ 上单调，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $[1, \frac{5}{3}]$ C、 $[\frac{5}{2}, \frac{8}{3}]$ D、 $[\frac{11}{4}, \frac{17}{3}]$

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, C C_{1}$ 的中点，若 $A A_{1} \cap$ 平面 $D_{1} E F = G$ ， $\vec{A_{1} G} = λ \vec{G A}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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