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相关试卷

1、已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 1, 2)$ ，则 $\tan α$ 等于（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、 $\cos 120 ° =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、-1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、若集合 $A = \{x |- 1 < x < 3\}$ ， $B = \{x |x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(2, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - k x$ 为偶函数， $g (x) = e^{2 x} + m e^{x}$

(1)、求实数k的值；

(2)、若 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $\exists x_{2} \in R$ ，使得 $g (x_{1}) > f (2 x_{2})$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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5、知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为对角线 $B D$ 、 $C D_{1}$ 上的点，且 $\frac{C Q}{Q D_{1}} = \frac{B P}{P D} = \frac{3}{5}$

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ；

(2)、若 $R$ 是 $A B$ 上的点， $\frac{A R}{A B}$ 的值为多少时，能使平面 $P Q R //$ 平面 $A_{1} D_{1} D A$ ？请给出证明.

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6、测量河对岸某一高层建筑物 $A B$ 的高度时，可以选择与建筑物的最低点 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 和 $D$ ，如图，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ B D C = 30 °$ ， $C D = 30 m$ ，并在 $C$ 处测得建筑物顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，求建筑物 $A B$ 的高度.

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7、已知 $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 是两个单位向量，且| $\overset{⃑}{e_{1}}$ ＋ $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝ $\sqrt{3}$ ，则| $\overset{⃑}{e_{1}}$ － $\overset{⃑}{e_{2}}$ |＝.

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8、下列选项中哪些是正确的（）

A、 $i^{1} + i^{2} + i^{3} + i^{4} + \dots \dots .. + i^{2023} = - 1$ （ $i$ 为虚数单位） B、用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台 C、在△ABC中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则△ABC是钝角三角形 D、当 $x < \frac{3}{2}$ 时，向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ 的夹角为钝角

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9、 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ （ $θ \in R$ ， i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（）

A、对任意的 $θ \in R$ ， $|e^{i θ}| = 1$ B、 $e^{i}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $e^{iπ} - 1 = 0$ D、 $e^{i α} e^{i β} = e^{i (α + β)}$

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10、已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = - \log_{2} x$ ．若函数 $F (x) = f (x) - \sin π x$ 在区间 $[- 1, m]$ 上有9个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[3, 3.5)$ B、 $(3, 3.5]$ C、 $(4.5, 5]$ D、 $[4.5, 5)$

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11、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{x}{2} + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、 $\frac{7}{2}$

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12、已知圆锥的高为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{3}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{5}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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13、如图，在△ $A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\overset{\overset{}{\to}}{A P} = m \overset{\overset{}{\to}}{A B} + \frac{2}{9} \overset{\overset{}{\to}}{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、3

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14、若 $A (1, m), B (m + 1, 3), C (1 - m, 7)$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、0或 $- 5$ D、0或5

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15、已知集合 $A = \{x |x > 0\}$ ，集合 $B = \{x |y = ln (- x^{2} + 16)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 $(- 4, 3)$ C、 $(0, 3)$ D、 $[2, 3)$

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16、已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b \geq 24$ B、 $a + b \geq 5 + 2 \sqrt{6}$ C、 $a - \frac{2}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $b$ 与 $a - 2$ 可以相等

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17、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x - 3 a, x \leq 2 \\ 2 + {l o g}_{a} x, x > 2 \end{matrix}$ ，的最大值不超过1，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{3}, 1)$

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18、已知圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，直线 $l : 2 x - y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A$ 、 $P B$ ，切点为 $A$ 、 $B$ ．
（1）若 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，求 $P$ 点坐标；
（2）若点 $P$ 的坐标为 $(1, 2)$ ，过 $P$ 作直线与圆 $M$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，当 $|C D| = \sqrt{2}$ 时，求直线 $C D$ 的方程；
（3）求证：经过 $A$ 、 $P$ 、 $M$ 三点的圆与圆 $M$ 的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

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19、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ .以 $A D$ 为腰作等腰直角三角形 $P A D$ ，且 $P A = A D$ ，将 $△ P A D$ 沿直线 $A D$ 折起，使得平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $M$ 是线段 $P D$ 上一点，且 $P B / /$ 平面 $M A C$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A B M$ 夹角的余弦值.

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20、设常数 $a \in R$ ，已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 2) x + y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $3 x + a y + (4 a - 3) = 0$ ．

(1)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} // l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离．

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