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相关试卷

1、已知 $\frac{π}{2} < β < α < \frac{3 π}{4}$ ， $\cos (α - β) = \frac{12}{13}$ ， $\sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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2、已知函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} - 1} (a \in R)$ 为奇函数，则实数 $a$ 的值为.

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3、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4}, - \frac{π}{4})$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $x = \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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4、已知 $\tan α = 2 \tan β$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\tan α = \tan 2 β$ ，则 $\tan α = \tan β = 0$ B、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) = \frac{7}{25}$ C、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan (α - β)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\exists α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $α = 2 β$

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5、如果关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + b - 1 > 0$ 的解集为 $\{x ∣ x \neq a\}$ ，那么下列数值中， $b$ 可取到的数为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6、已知直线 $x = x_{1}, x = x_{2}$ 是函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}), (ω > 0)$ 图象的任意两条对称轴，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}], k \in Z$ B、 $[k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}], k \in Z$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{4 π}{3}], k \in Z$ D、 $[2 k π - \frac{π}{12}, 2 k π + \frac{5 π}{12}], k \in Z$

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7、已知 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{a^{x} - b}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把区间 $(0, 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}, i = 1, 2, 3, \dots, 2 n - 1$ ， $g (x) = \frac{5}{4} - \frac{2}{2^{x - 1} + 1}$ ，记 $F (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \dots + g (x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数n，使不等式 $\frac{f (2 x)}{f (x)} \geq F (n)$ 有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由；

(3)、函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n] (m < n)$ 上的值域是 $[\frac{k}{2^{m}}, \frac{k}{2^{n}}] (k \in R)$ ，求 $\frac{k}{a}$ 的取值范围．

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8、已知 $f (x + 2) = 2 x - 2$ ，且 $f (a) = 4$ ，则 $a =$ （）

A、 $10$ B、 $6$ C、 $5$ D、 $3$

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $C P B$ 与平面 $P B D$ 的夹角的大小；

(3)、求点 $B$ 到平面 $E F D$ 的距离．

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10、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $\frac{b^{2}}{a^{2}} < \frac{b^{2} + 1}{a^{2} + 1}$ B、 $a^{2} + b^{2} > a b$ C、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ D、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$

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11、若 $a = \frac{\ln 2}{2}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{\ln 3}{3}$ ，则以下不等式正确的是（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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12、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x} + 1}$ 是奇函数。

(1)、求 $a$ 的值

(2)、判断并证明该函数在定义域 $R$ 上的单调性

(3)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = a \sin x$ ， $a \in Z$ .若 $y = f (f (x))$ 的零点恰为 $y = f (x)$ 的零点，则a的最大值是.

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14、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则 $p =$ ．

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，则（）

A、当 $x = 2$ 时， $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, 4)$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x \in (- \infty, - 4) \cup (- 4, 1)$

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16、在斜三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b = 4, 4 \sqrt{6} a sin 2 C = 3 (a^{2} + b^{2} - c^{2}) sin B$ ，点 $O$ 满足 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 0$ ，且 $cos ∠ C A O = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{15}$ B、 $4 \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 5$ ， $a_{9} + 7 = 2 a_{6}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}$ ，若 $S_{m} > 432$ ，求正整数 $m$ 的最小值.

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18、解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件 $a_{11} a_{22} \neq a_{12} a_{21}$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}$ .

(1)、用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；

(2)、通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 $x_{1}, x_{2}$ 的系数 $a_{11} 、 a_{22} 、 a_{12} 、 a_{21}$ 所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 $\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}$ ，由此可以看出 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ 是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ 为该数表的二阶行列式，记为 $|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}|$ .当 $|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}|$ ≠0时，二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}$ 有唯一一组解.同样的，行列式 $|\begin{matrix} a & b & c \\ l & m & n \\ x & y & z \end{matrix}|$ 称为三阶行列式，且 $|\begin{matrix} a & b & c \\ l & m & n \\ x & y & z \end{matrix}|$ = $a m z + b n x + c l y - c m x - b l z - a n y$ .
（i）用二阶行列式表示方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}$ 的两个解；
（ii）对于三元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = b_{3} \end{matrix}$ ，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.

(3)、若存在 $x \in [0, π]$ ，使得 $|\begin{matrix} \sin x & - m \\ \cos x & m \end{matrix}| > sin 2 x + 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = a x^{2} - 1$

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $2 x f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求a的取值范围；

(2)、设 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为 $f (x)$ 上不同的两点 $(x_{1} < x_{2})$ ，设AB两点所在直线的斜率为K，证明： $\frac{2}{x_{1} + x_{2}} < K < \frac{{(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})}^{2}}{4 x_{1} x_{2}}$

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、讨论 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的零点个数．

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