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相关试卷

1、直线 $l : x - m y - 2 = 0 (m \in R)$ 与 $x$ 轴的交点 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，若点 $O$ 为坐标原点， $l$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点. 则（）

A、 $p = 8$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 12$ C、 $△ O A B$ 重心横坐标的最小值为 $\frac{4}{3}$ D、以线段 $A B$ 为直径的圆被 $y$ 轴截得的弦长为定值

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2、若数列 $A_{n} : a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $| a_{k + 1} - a_{k} | = 1 (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1)$ ，则称 $A_{n}$ 为E数列，记 $S (A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ．

(1)、写出满足 $a_{1} = a_{5} = 0$ ，且 $S (A_{5}) > 0$ 的一个E数列 $A_{5}$ ；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ， $n = 2024$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2025$ ；

(3)、对任意给定的整数 $n (n \geq 2)$ ，是否存在首项为0的E数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n}) = 0$ ？如果存在，写出一个满足条件的E数列 $A_{n}$ ；如果不存在，说明理由．

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3、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在 $B B_{1}, D D_{1}$ 上，且 $A E ⊥ A_{1} B$ ， $A F ⊥ A_{1} D$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、当 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2$ 时，求平面 $A E F$ 与平面 $A_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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4、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是三角形三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $a = 5$ ， $\sin A = \frac{3}{5}$ ， $B - A = \frac{π}{2}$

(1)、求 $\cos C$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的周长.

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5、已知集合 $M = {(a, b) | a \leq - 1$ ，且 $0 < b \leq m}$ ，其中 $m \in R$ ．若任意 $(a, b) \in M$ ，均有 $a \cdot \log_{2} b - b - 3 a \geq 0$ ，求实数 $m$ 的最大值.

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6、曲线 $y = e^{2 a x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ .

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7、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (- x)$ ，当 $x \in (1, 2]$ 时 $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(3, 0)$ 成中心对称 C、 $f (2024) > f (2025)$ D、 $f (\frac{x}{x^{2} + 1}) \leq f (\frac{1}{2})$

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8、设 $S_{n}$ 是公比为正数等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{3} a_{5} = \frac{1}{64}$ ，则（）

A、 $a_{4} = \frac{1}{8}$ B、 $S_{3} = \frac{9}{4}$ C、 $a_{n} + S_{n}$ 为常数 D、 $\{S_{n} - 2\}$ 为等比数列

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9、某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若 $y$ 与 $x$ 线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.6 x + \hat{a}$ ，则（）
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
下载量 $y$ （万次）
5
4.5
4
3.5
2.5

A、 $y$ 与 $x$ 负相关 B、 $\hat{a} = 5.6$ C、预测第6个月的下载量是2.1万次 D、残差绝对值的最大值为0.2

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10、已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有 $i$ （其中 $i = 2, 3, 4$ ）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量 $ξ_{i} (i = 2, 3, 4)$ ，则（）

A、 $2 E (ξ_{3}) > 4 E (ξ_{2}) > E (ξ_{4})$ B、 $4 E (ξ_{2}) > E (ξ_{4}) > 2 E (ξ_{3})$ C、 $2 E (ξ_{3}) > E (ξ_{4}) > 4 E (ξ_{2})$ D、 $4 E (ξ_{2}) > 2 E (ξ_{3}) > E (ξ_{4})$

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11、 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 项的系数是（）

A、672 B、 $- 420$ C、560 D、 $- 560$

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12、若复数z满足 $\frac{2}{z} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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13、若点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，点 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 上，则 $|x_{2} - x_{1}| + 2 |y_{2} - y_{1}|$ 的最小值是．

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14、如图所示，点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A, B$ 分别在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 及圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 的实线部分上运动，且 $A B$ 总是平行于 $x$ 轴，则 $△ F A B$ 的周长的取值范围是（）

A、 $[8, 10]$ B、 $(5, 8)$ C、 $(10, 12)$ D、 $(8, 10)$

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15、直线 $l : 3 x - y + 4 = 0$ 的一个方向向量为（）

A、 $(3, - 1)$ B、 $(3, 1)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(1, \frac{1}{3})$

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16、俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱．对定义在非空集合 $I$ 上的函数 $f (x)$ ，以及函数 $g (x) = k x + b (k, b \in R)$ ，切比雪夫将函数 $y = |f (x) - g (x)|, x \in I$ 的最大值称为 $f (x), g (x)$ 的“偏差”．

(1)、函数 $f (x) = x^{2} (x \in [0, 1]), g (x) = - x - 1$ ，求 $f (x), g (x)$ 的“偏差”；

(2)、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + 1 (x \in [1, 2]), g (x) = k x + 1 (k > 0)$ ，若 $f (x), g (x)$ 的“偏差”为2，求 $k$ 的值；

(3)、函数 $f (x) = x^{2} - x (x \in [0, 3]) g (x) = 2 x + b$ ，若 $f (x), g (x)$ 的“偏差”取最小值，求 $b$ 的值，并求出“偏差”的最小值．

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17、已知函数 $f (x) = |2^{x} - 2|$ ，且 $f (a) = f (b), a < b$ ，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} = 4$ B、 $a + b < 2$ C、 $b < 1$ D、 $f (a) \cdot 2^{b} \in (0, 8)$

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18、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、 $a = 0$ 时，证明： $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = 2 x - \ln x + \frac{3}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{8} = 50$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{2^{n} - 2 a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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月份编号 $x$	1	2	3	4	5
下载量 $y$ （万次）	5	4.5	4	3.5	2.5