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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ，且 $P A = 1$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ， $N$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求平面 $A B C D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值：若不存在，请说明理由.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点.
（1）证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的余弦值.

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3、某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进
行调研，按成绩分组：第1组 $[75, 80)$ ，第2组 $[80, 85)$ ，第3组 $[85, 90)$ ，第4组 $[90, 95)$ ，第5组 $[95, 100)$ ，得到的频率分布直方图如图所示：
若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．
（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率；
（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率．

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4、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角是钝角，求k的取值范围.

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5、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 0)$ ， $\vec{b} = (k, 0, 1)$ ，若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60^{\circ}$ ，则 $k =$ .

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6、已知向量 $\vec{a} = (m + 1, 2, m)$ 是直线l的一个方向向量，向量 $\vec{n} = (1, m, 2)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则实数m的值为．

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7、点 $A (2, 1, 1)$ 是直线 $l$ 上一点， $\overset{⃑}{a} = (1, 0, 0)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，则点 $P (1, 2, 0)$ 到直线 $l$ 的距离是．

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8、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 1, 3), \vec{b} = (- 1, 5, n)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m n = - 3$ B、已知 $\vec{a} = (0, 1, 1), \vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、设 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则 ${\vec{a} - \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}}$ 也是空间的一个基底 D、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面

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9、如图，菱形 $A B C D$ 边长为 $2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使 $A$ 到 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，且 $A^{'} D ⊥ D C$ ，平面与 $A^{'} B E$ 平面 $A^{'} C D$ 的交线为 $l$ ，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $A^{'} B E$ B、 $C D / / l$ C、 $B C$ 与平面 $A^{'} D E$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、二面角 $E - A^{'} B - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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10、如图，设每个电子元件能正常工作的概率为 $p$ ，则电路能正常工作的概率为（）

A、 $p + p^{2}$ B、 $p + p^{2} - p^{3}$ C、 $p^{3}$ D、 $p^{2} + p^{3}$

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11、如右图在一个二面角的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ，线段 $AC ， BD$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $AB$ ， $AB = 4 cm ， AC = 6 cm ， BD = 8 cm ， CD = 2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为

A、30° B、60° C、90° D、120°

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12、若 $\overset{⃑}{O A}$ 、 $\overset{⃑}{O B}$ 、 $\overset{⃑}{O C}$ 为空间三个单位向量， $\overset{⃑}{O A} ⊥ \overset{⃑}{O B}$ ，且 $\overset{⃑}{O C}$ 与 $\overset{⃑}{O A}$ 、 $\overset{⃑}{O B}$ 所成的角均为 $60^{\circ}$ ，则 $|\overset{⃑}{O A} + \overset{⃑}{O B} + \overset{⃑}{O C}| =$ （）

A、5 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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13、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， M是 $A_{1} D_{1}$ 的中点，N是线段 $C A_{1}$ 上的点，且 $C N : N A_{1} = 1 : 4$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{N M}$ 的结果是（）

A、 $\frac{4}{5} \vec{c} - \frac{4}{5} \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{5} \vec{a} - \frac{1}{5} \vec{b} + \frac{4}{5} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{a} - \frac{3}{10} \vec{b} - \frac{1}{5} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} e^{a x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(3)、若关于x的不等式 $f (x) \leq e^{a^{2}}$ 在 $[a, + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, P D = D C = 2 A D = 2, E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $E D B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值；

(3)、在棱 $P B$ 上是否存在一点 $F$ ，使直线 $E F$ 与平面 $E D B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，若存在，求出线段 $B F$ 的长；若不存在，说明理由.

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16、直线 $6 x + 8 y - 2 = 0$ 与 $3 x + 4 y - 3 = 0$ 间的距离为

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17、现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从 $n - 1$ 号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．

(1)、当 $n = 2$ 时，求2号盒子里有2个红球的概率；

(2)、当 $n = 3$ 时，求3号盒子里的红球的个数 $ξ$ 的分布列；

(3)、记n号盒子中红球的个数为 $X_{n}$ ，求 $X_{n}$ 的期望 $E (X_{n})$ ．

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18、某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）

A、甲企业：均值为5，中位数为8 B、乙企业：众数为6，中位数为6 C、丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8 D、丁企业：均值为5，方差为6

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19、已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足 $\vec{M E} \cdot \vec{M F} = - 40$ ， AB是正方体的一条棱，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A B}$ 的最小值为（）

A、 $16 (\sqrt{2} - 4)$ B、 $16 (2 - \sqrt{2})$ C、 $16 (4 - \sqrt{2})$ D、 $16 (\sqrt{2} - 2)$

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20、如图， $M N ⊥ M A$ ， $M N ⊥ N B$ ，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，异面直线 $M A$ ， $N B$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ， $|M N| = 2$ ，点 $P$ ，点 $Q$ 分别是直线 $M A$ ， $N B$ 上的动点，且 $|P Q| = 4$ ，设线段 $P Q$ 的中点为 $R$ .

(1)、求异面直线 $M N$ 与 $P Q$ 所成的角；

(2)、求 $|M R|$ 的取值范围；

(3)、求四面体 $M N P Q$ 的体积的最大值.

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