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相关试卷

1、《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图， $E A ⊥$ 平面ABCD， $F C ∥ E A$ ，四边形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $C D = C F = 4$ ．

(1)、证明：四面体BCFD为鳖臑；

(2)、求点C到平面BDF的距离；

(3)、求几何体ABCDEF的表面积．

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2、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角A，B，C的对边，且 $2 c \cos C = a \cos B + b \cos A$ ．

(1)、求C的大小；

(2)、若 $b = 3 a, c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、存在正数 $x, y, z,$ 使得不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{3 y} + \sqrt{5 z} \geq m \sqrt{x + y + z}$ 成立，则 $m$ 的最大值是.

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4、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = d$ （ $n \in N^{*}$ ， $d$ 为常数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“调和数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 为“调和数列”，下列说法正确的是（）

A、若 $\sum_{i = 1}^{20} \frac{1}{b_{i}} = 20$ ，则 $b_{10} + b_{11} = b_{10} b_{11}$ B、若 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{c_{n}}$ ，且 $c_{1} = 3$ ， $c_{2} = 15$ ，则 $b_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、若 $\{b_{n}\}$ 中各项均为正数，则 $b_{n + 1} \leq \frac{b_{n} + b_{n + 2}}{2}$ D、若 $S_{n}$ 为数列 $\{\sqrt{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{n} < 2 \sqrt{n}$

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5、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外的动点 $P$ 作圆的两条切线，切点为 $A, B$ ，则下列结论正确的有（）

A、若点 $P (3, 4)$ ，则四边形 $O A P B$ 的面积是 $2 \sqrt{6}$ B、若点 $P (6, 8)$ ，则四边形 $O A P B$ 的外接圆方程是 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 10$ C、若点 $P$ 在直线 $4 x + 3 y - 12 = 0$ 上，则 $O, A, P, B$ 所在圆的直径的最小值是 $\frac{12}{5}$ D、当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $\sqrt{2}$

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6、下列说法中正确的是（）

A、若一个经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x - 1$ ，则当变量 $x$ 增加1个单位时， $\hat{y}$ 平均增加2个单位 B、已知随机变量 $ξ ~ N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.6$ C、两组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ ．若 $x_{i} + y_{i} = 10 (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $\bar{x} + \bar{y} = 10$ D、已知一组样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 3)$ 与 $(2, n)$ 的残差相等，则 $3 m + n = 10$

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7、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x), f (- x) = f (x + 2)$ ，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x^{3} - x^{2} + x$ .则方程 $4 f (x) - x + 2 = 0$ 所有的根之和为（）

A、10 B、12 C、14 D、16

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的通径为线段 $A B$ ， $A$ 到双曲线两条渐近线的距离之和等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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9、若 $cos (\frac{π}{2} + θ) + sin (θ + \frac{3 π}{2}) = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则 $\frac{sin (π + θ)}{1 - tan (π - θ)}$ 的值为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{20}$ B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{20}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$

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10、已知集合 $A = \{x| x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{- 1, 0, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 2\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1\}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (m, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{3}$ B、1或 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ D、1或 $\frac{1}{3}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n + 1)$ ，则根据题意，该数列的前4项和 $S_{4} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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13、已知集合 $A = \{x \in Z |\frac{x - 2}{x + 2} \leq 0\}, B = \{x \in Z ∣ |x - 1| \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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14、某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了 $A$ 和 $B$ 两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择 $A$ 和 $B$ 两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：

(1)、由折线图可看出，可用回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、假设每位顾客选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，其中 $A$ 包含一张优惠券， $B$ 套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了 $n$ 张优惠券，设其概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ；

(3)、记（2）中所得概率 $P_{n}$ 的值构成数列 $\{P_{n}\} (n \in N *)$ ，求数列 $\{P_{n}\}$ 的最值．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 16.17$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 68.35$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.72$ ， $\sqrt{7} = 2.646$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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15、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为圆锥底面的直径， $B$ 为底面圆周上一点，点 $D$ 在线段 $B C$ 上， $A C = 2 A B = 4$ ， $C D = 2 D B$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B O P$ ；

(2)、若圆锥 $P O$ 的侧面积为 $8 π$ ，求二面角 $O - B P - A$ 的正弦值．

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16、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} sin A - cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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17、如图，在 $4 \times 4$ 的格子中，有一只蚂蚁从 $A$ 点爬到 $B$ 点，每次只能向右或向上移动一格，则从 $A$ 点爬到 $B$ 点的所有路径总数为，若蚂蚁只在下三角形（对角线 $A B$ 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从 $A$ 点到 $B$ 点的所有总路径数为．

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18、在 ${(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})}^{8}$ 的展开式中，常数项为．

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19、已知 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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20、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 2)$ 为偶函数，则下列说法错误的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $g (1) = 1$ C、 $y = f (x + 2) - 1$ 为奇函数 D、 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 1012$

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