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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) - m (x - 1) + 2$ ．
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线与直线 $2 x - y + 6 = 0$ 垂直，求 $f (x)$ 的极值；
（2）若 $f (x)$ 的图象恒在直线 $y = 2$ 的下方．
①求实数 $m$ 的取值范围；
②证明：对任意正整数 $n$ ，都有 $\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdot \cdot \cdot + \ln (2 n) < \frac{2 n (1 + 2 n)}{5}$

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, 2 n a_{n} - 2 S_{n} = n^{2} - n, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2 - a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是3，且满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2^{n}$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 e^{x} + x, x \leq 0 \\ 2 x - 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{2} > x_{1}$ ，且 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值是，此时在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．

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5、在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数， $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 4$ ，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为．（初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）

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6、已知 $f (x) = - 5 x + \sin x$ ，则满足 $f (a^{2}) + f (- 4) > 0$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

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7、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为 $a_{n}$ ，第n个图形的边长为 $b_{n}$ ，第n个图形的周长为 $L_{n}$ ，第n个图形的面积为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．则下列命题正确的是（）

A、 $a_{n} = 3 \times 4^{n - 1}$ B、 $S_{3} = \frac{40}{27} S_{1}$ C、 $b_{4} = \frac{1}{81}$ D、数列 $\{L_{n}\}$ 的前n项和为 $\frac{4^{n}}{3^{n - 2}} - 9$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{cases}$ ，若 $a_{6} = 1$ ，则m可能的取值有（）

A、3 B、4 C、5 D、32

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示．则对于任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、 $\frac{f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2}$

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ，前12项和为164，则 $a_{1}$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n$ ，若首项为 $\frac{1}{2}$ 的数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2024项和为（）

A、 $\frac{1012}{2023}$ B、 $\frac{2025}{2024}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2024}{2025}$

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12、如图是函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的大致图象，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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13、已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象如下图所示（其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），下面四个图象中 $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（）

A、 $1 : 3$ B、 $2 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $4 : 5$

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15、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{3} + a_{7} = 6, a_{10} = 13$ ，则 $S_{14} =$ （）

A、98 B、112 C、126 D、140

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16、对函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x + e^{2 x}$ 求导正确的是（）

A、 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2} + e^{2 x}$ B、 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2} + 2 e^{2 x}$ C、 $y^{'} = \frac{1}{- x \ln 2} + e^{2 x}$ D、 $y = \frac{1}{- x \ln 2} + 2 e^{2 x}$

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17、已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 6\}, B = \{x| a < x < b\}$ ，其中 $a, b (a < b)$ 是关于 $x$ 的方程 $(x - 3 m) (x + m) = 0 (m > 0)$ 的两个不同的实数根.

(1)、若 $A = B$ ，求出实数 $m$ 的值；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中 $A (a, 0), B (0, b), a > 0, b > 0$ .

(1)、若圆 $M$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴及线段 $A B$ 都相切，用 $a, b$ 表示圆 $M$ 的半径 $r$ ；

(2)、若 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，求 $a + b + \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的最小值；

(3)、判断以下两个命题的真假并说明理由.
命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似；
命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似.

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19、已知两个等比数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 满足： $b_{1} - a_{1} = 1$ ， $b_{2} - a_{2} = 2$ ， $b_{3} - a_{3} = 3$ .

(1)、若 $a_{1} = \frac{1}{15}$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，判断 ${a_{n}}$ 中是否存在三项成等差数列，并说明理由；

(3)、若满足条件的数列 ${a_{n}}$ 有且只有一个，求实数 $a_{1}$ 的值.

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20、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (m > 0)$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、过椭圆 $Γ$ 上一点 $P$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{5 m^{2}} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 有且仅有一个公共点，求实数 $m$ 的取值范围．

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