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相关试卷

1、某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形 $A B C D$ 的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形 $O M N$ 中， $O M = 20 m$ ， $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，记 $∠ M O D = α$ ，共设计了两个方案：
方案一：如图1，点 $A, B$ 在半径 $O M$ 上，点 $C$ 在半径 $O N$ 上， $D$ 是扇形弧上的动点，此时矩形 $A B C D$ 的面积记为 $S_{1}$ ；
方案二：如图2，点 $A, B$ 分别在半径 $O M$ 和 $O N$ 上，点 $C$ ， $D$ 在扇形弧上， $A B // M N$ ，记此时矩形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$ .

(1)、分别用 $α$ 表示两个方案中矩形 $A B C D$ 的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ；

(2)、分别求出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的最大值，并比较二者最大值的大小.

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2、已知函数 $f (x) = 9^{x} - m \cdot 3^{x} - 1$ .

(1)、若 $f (2) = - 1$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 1]$ 上的最小值；

(3)、设函数 $g (x) = 2^{|x| + 1}$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 2, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = \log_{a} (x + 1) + \log_{a} (1 - x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、若 $f (\frac{3 \sqrt{10}}{10}) = - 1$ ，求满足 $f (x) > f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的取值集合.

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x - \sin^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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5、求下列各式的值：

(1)、 $\sin 20 ° \cos 70 ° - \cos 160 ° \sin 110 °$ ；

(2)、 $\log_{2} 5 \times \log_{5} 2 + 2 \lg 2 + \lg 25$ .

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\ln (1 - x)|, x < 1 \\ - 2^{x} + 6, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (3)) =$ ；若关于 $x$ 的方程 $f (x + \frac{1}{x}) = m$ 有4个不等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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7、已知 $\tan θ = - 2$ ，且 $θ$ 为第二象限角，则 $\sin θ =$ .

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8、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{x - 1}$ 的定义域是.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $\frac{f (x)}{g (x)}$ 为奇函数 C、 $f (2 x) = f (x) \cdot g (x)$ D、 $g (2 x) = {[g (x)]}^{2} + {[f (x)]}^{2}$

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10、下列命题为真命题的有（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 D、 $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值为5

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11、已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，则关于 $f (x)$ 的说法正确的有（）

A、最小正周期为 $π$ B、图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象

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12、已知 $x \in R$ ，若 $p : \frac{x + 1}{2 x - 1} \geq 2$ ， $q : | 1 - x | \leq x$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知 $a = \log_{4} 2$ ， $b = \log_{5} 2$ ， $c = 3^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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14、若不等式 $a x^{2} + b x + 4 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 4}$ ，则不等式 $(x - a) (x + b) > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 3 < x < 1}$ B、 ${x | x > 3$ 或 $x < 1}$ C、 ${x | - 3 < x < - 1}$ D、 ${x | x < - 3$ 或 $x > - 1}$

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15、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则下列关于 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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16、设函数 $f (x) = x + \lg x - 3$ ，则 $f (x)$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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17、设命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{2} \leq 2 x - 7$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x < 0$ ， $x^{2} > 2 x - 7$ B、 $\exists x < 0$ ， $x^{2} \geq 2 x - 7$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} > 2 x - 7$ D、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} \geq 2 x - 7$

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18、已知集合 $A = \{x | x^{2} < 4\}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${- 1, 0}$ C、 ${- 2, - 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, 2}$

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19、已知函数 $f (x) = m e^{x} - x^{2} - 2 x (m \neq 0)$ ， $P (x_{1}, y_{1})$ 与 $Q (x_{2}, y_{2})$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，回答下列问题：

(1)、当 $m < 0$ 时，证明 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > k_{P Q}$ ；

(2)、 $f (x)$ 上有 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 三点（ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均不为 $0$ 且互不相等），满足 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列且 $x_{3} = 3 x_{1}$ ．
①若不存在 $A, B, C$ 三点，使 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 成等差数列，求 $m$ 的取值范围；
②若 $m < 0, g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ，证明： $g (m) + g (- m) > 2$ ．

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20、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）， $O$ 为坐标原点，过椭圆 $C$ 左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $x$ 轴上方），有 $∠ P F_{1} O = 2 ∠ F_{1} P O$ ， $l$ 不与 $x$ 轴重合．

(1)、当 $∠ F_{1} P O = 45 °$ 时，求椭圆 $C$ 的离心率 $e$ ；

(2)、求 $\frac{|P O|}{|F_{1} O|}$ 的取值范围；

(3)、是否存在 $l$ 使 $|P O| + |P F_{1}| = 2 a$ ？若存在，求出 $∠ P F_{1} O$ 的余弦值；若不存在，请说明理由．

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