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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且满足 $cos C + 2 cos B cos (\frac{π}{3} + A) = 0$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为 $O$ ，半径 $R = \sqrt{3}$ .
（i）作角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ ， $B D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）若 $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C} (m, n \in R)$ ，求 $m + n$ 的取值范围.

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2、某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 $A$ 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从 $B$ 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分.若两轮总分不低于60分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对 $A, B$ 类每个问题的答对的概率均为0.5.在 $A$ 类的5个问题中，小明只能答对4个问题，在 $B$ 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.

(1)、求小明在第一轮得40分的概率；

(2)、求小红两轮总分得60分的概率；

(3)、试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，且 $A B = A D = 4, B C ⊥ C D, P B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；

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4、在 $△ A B C$ 中， $a^{2} = b^{2} - c^{2} + \frac{2}{3} a c$ .

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c = 2 \sqrt{7}$ ；条件②： $a \sin A = \sqrt{3}$ ；条件③： $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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5、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，若 $A B = 4$ ， $C D = 2$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 9$ ，则 $|\vec{E F}| =$ ．

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6、一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.

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7、若向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (λ, 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是棱 $A D, C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）

A、 $E F ⊥ B_{1} C$ B、直线 $F G$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ C、三棱锥 $B - E F G$ 的体积为 $\frac{5}{6}$ D、过 $E, F, G$ 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形

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9、连续抛掷一枚硬币两次，事件 $A$ 表示“第一次硬币正面朝上”，事件 $B$ 表示“第二次硬币反面朝上”，事件 $C$ 表示“两次硬币都正面朝上”，事件 $D$ 表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（）

A、 $A$ 与 $C$ 相互独立 B、 $A$ 与 $D$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 相互独立 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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10、已知 $z$ 为复数， $i$ 为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、若 $z = \frac{i}{2 + i}$ ，则 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 ${|z|}^{2} = z \cdot \bar{z}$ C、若 $|z + 1| = |z - 1|$ ，则 $z$ 为纯虚数 D、若 $|z| = 1$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1

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11、函数 $f (x) = \frac{2 a + \sin x}{2 a + \cos x}$ （ $| a | > 1$ ）的最大值和最小值是 $M$ 、 $m$ ，则 $M \cdot m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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12、如图，在四面体 $P - A B C$ 中，点 $P$ 在平面 $A B C$ 上的射影是 $A$ ， $A C ⊥ B C$ ，若 $P A = B C = 2, P B = 2 \sqrt{10}$ ，则异面直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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13、我国古代数学典籍《九章算术》卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何?这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行 $4 \sqrt{3}$ 米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ 米 B、 $4 \sqrt{5}$ 米 C、 $5 \sqrt{2}$ 米 D、 $16 \sqrt{3}$ 米

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14、某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（）

A、极差 B、45%分位数 C、平均数 D、众数

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15、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且周期为2的偶函数，当 $2 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (- \frac{3}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 1$ ， $A C = 5$ ， $B = 45^{\circ}$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $- 3$ D、 $3$

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17、已知复数z与 $\frac{4 - i}{2 + i}$ 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 $z =$ （）．

A、 $- \frac{7}{5} + \frac{6}{5} i$ B、 $- \frac{7}{5} - \frac{6}{5} i$ C、 $\frac{7}{5} + \frac{6}{5} i$ D、 $\frac{7}{5} - \frac{6}{5} i$

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18、现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品．

(1)、以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望 $E (X)$ ；

(2)、在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果 $X = k$ ，存在 $m_{0} \in S$ ，且对任意 $m_{1} \in S$ ，有 $P (X = k | m = m_{0}) \geq P (X = k | m = m_{1})$ 成立，则称 $m_{0}$ 为m的一个极大似然估计值．
①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值 $p_{0}$ ．
②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， …， $k_{m}$ ，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值 $p_{1}$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x}$ ， $x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有两根，求a的取值范围；

(3)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) \geq a e x - eln x$ ．

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20、近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐．某公司为了获得轻食消费者行为数据，对一地区消费者进行抽样调查．统计其中300名消费者（表中3个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表．

年龄食用频数	25岁以下（ $< 25$ ）	25岁到50岁 $[25, 50)$	50岁及以上（ $\geq 50$ ）
轻食低频消费者（每周 $\leq 1$ 次）	15	35	50
轻食中频消费者（每周2-3次）	55	45	40
轻食高频消费者（每周4-6次及以上）	30	20	10

(1)、已知该地区25岁以下、25岁到50岁、50岁及以上三个年龄段的人数比例为

3 : 6 : 1

，用频率估计概率，求从该地区随机抽取一人，其为高频消费者的概率．

(2)、从以上样本的轻食高频消费者（每周4-6次及以上）中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在25岁以下与25岁到50岁的人数分别为

X

，

Y

，记

ξ = |X - Y|

，求

ξ

的分布列与期望．

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