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相关试卷

1、已知 $\cos (\frac{π}{6} - α) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (\frac{4 π}{3} + α) =$ ．

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2、下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\sin \frac{13 π}{6}$ B、 $2 \sin \frac{π}{12} \cos \frac{π}{12}$ C、 $2 \cos^{2} \frac{π}{12} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \tan \frac{7 π}{6}$

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3、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若方程 $f (x) = a (a > 0)$ 在 $(0, π)$ 的解为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $sin (x_{1} - x_{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4、如图所示，两动点 $P, Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆上从点 $A (1, 0)$ 处同时出发做匀速圆周运动．已知点 $P$ 按逆时针方向每秒钟转 $α$ 弧度，点 $Q$ 按顺时针方向每秒钟转 $β$ 弧度 $(0 < α < β < π)$ ，且 $P, Q$ 两点在第2秒末第一次相遇于点 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 处，则它们从出发后到第2次相遇时，点 $P$ 走过的总路程为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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5、分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是 $6 π$ ，则该勒洛三角形的面积是（）

A、 $18 π - 18 \sqrt{3}$ B、 $18 π + 18 \sqrt{3}$ C、 $18 π - 18$ D、 $18 π + 18$

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6、在斜三角形ABC中，“ $A < B$ ”是“ $\tan A < \tan B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知点 $P (m, - 1)$ 在角 $α$ 的终边上，若 $c o s α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则（）

A、 $m = 3$ B、 $α$ 为第二象限的角 C、 $sin α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\tan α = \frac{1}{3}$

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8、已知 $α$ 是第二象限角且 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $2 sin β - cos β = 0$ ，则 $tan (α - β)$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、－2 D、 $\frac{2}{11}$

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9、计算 $\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 70^{\circ}$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sin 50^{\circ}$ D、 $- \sin 50^{\circ}$

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10、与 $- 465 °$ 角终边相同的角的集合是（）

A、 $\{α ∣ α = 465 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ B、 $\{α ∣ α = 105 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ C、 $\{α ∣ α = 255 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ D、 $\{α ∣ α = 75 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$

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11、信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若 $A$ ， $B$ 是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为 $p$ ，若 $A$ ， $B$ 的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后 $A$ ， $B$ 中含有字节1的个数为 $X$ .

(1)、若两次加密后的 $A$ ， $B$ 中字节1的个数为2，且 $p = \frac{1}{3}$ ，求 $A$ ， $B$ 通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；

(2)、若一条信息有 $n (n > 1, n \in N^{*})$ 种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，则称 $H = f (p_{1}) + f (p_{2}) + \dots + f (p_{n})$ （其中 $f (x) = - x {log}_{2} x$ 为这条信息的信息熵，试求 $A$ ， $B$ 经过两次加密后字节1的个数为 $X$ 的信息熵 $H$ ；

(3)、将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为 $Y (Y = 1, 2, 3, \dots, n)$ .证明： $E (Y) < \frac{1}{p}$ .

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12、为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一年级组12人，高二年级组10人，高三年级组8人，测试共分为两轮.

(1)、第一轮测试按高一､高二､高三3个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每一小组正常完成测试的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组全部完成测试所需总时间为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、第二轮测试将3组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等.
①求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率；
②若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，设这30名同学所得“两会纪念册”总数恰好为 $n$ 个的概率为 $P_{n}$ ，当 $P_{n}$ 取最大值时，求 $n$ 的值.

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13、（1）已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项.
（2）已知 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项.

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14、用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（用数字作答）

(1)、无重复数字的四位奇数；

(2)、无重复数字且能被5整除的四位数；

(3)、无重复数字且比1203大的四位数.

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15、甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为 $α$ ，乙获胜的概率为 $β$ ， $(α + β = 1, α > 0, β > 0)$ ，且每局比赛结果相互独立．
①若 $α = \frac{2}{3}, β = \frac{1}{3}$ ，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为；
②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数 $X$ 的期望 $E (X)$ 的最大值为．

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16、亚冬会期间，组委会将5名志愿者分配到三个场馆进行引导工作，每个场馆至少分配一人，每人只能去一个场馆.若甲､乙要求去同一个场馆，则所有不同的分配方案的种数为.

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17、 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 x)}^{6}$ 展开式中的常数项为.

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18、全国高考I卷数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分：若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是 $\frac{2}{3}$ ，记 $X$ 为小明随机选择1个选项的得分，记 $Y$ 为小明随机选择2个选项的得分，则（）

A、 $P (X = 3) = P (Y = 4) + P (Y = 6)$ B、 $E (Y) < E (X)$ C、 $D (X) = \frac{5}{4}$ D、 $E (X^{2}) - D (X) = \frac{9}{4}$

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19、一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为 $X$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $P (X = 1) = \frac{1}{5}$ B、 $P (X \geq 2) = \frac{7}{10}$ C、 $E (X) = \frac{9}{5}$ D、 $D (X) = \frac{9}{25}$

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20、已知 $(1 - x) {(1 - \frac{2}{x})}^{5} = a_{0} x + a_{1} + a_{2} x^{- 1} + a_{3} x^{- 2} + a_{4} x^{- 3} + a_{5} x^{- 4} + a_{6} x^{- 5}$ ，则（）

A、 $a_{3} = 120$ B、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 243$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 0$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{6}| = 486$

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