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相关试卷

1、已知 $A, B$ 均为钝角， $\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $\sin^{2} \frac{A}{2} + \cos (A + \frac{π}{3}) = \frac{5 - \sqrt{15}}{10}$ ，则 $A + B =$ （）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{7 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{6}$

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2、函数 $f (x)$ 在定义域内可导且导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知复数 $z_{1} = 2 + i$ ，且复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$

A、 $1 + i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ D、 $1 + \frac{4}{3} i$

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4、已知集合 $A = \{x| 2^{x} \geq 4\}$ ， $B = \{x| 0 < x < \sqrt{3}\}$ ，则有（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $B \subseteq A$

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5、已知 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1), | \vec{b} | = 2, 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = 30^{°}$ ，记 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ．

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{c} |$ 的值；

(2)、若向量 $(\vec{a} - \frac{λ}{3} \vec{c})$ 与 $(λ \vec{a} - 4 \vec{c})$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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6、某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查. 将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.

(1)、估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；

(2)、国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.

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7、设向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin x, \sin x + \cos x)$ ， $\vec{n} = (2 \cos x, \sin x - \cos x)$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (A) = 1$ ， $a = 2$ ， $sin B + sin C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积

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8、（1）已知 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $\sin β$ 的值；
（2）化简求值 $sin 50 ° (1 + \sqrt{3} tan 10 °)$ .

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9、若方程 $sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ 在 $(0, π)$ 的解为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $sin (2 x_{1} - 2 x_{2}) =$ ．

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10、200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的中位数的估计值分别为．

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11、已知函数 $f (x) = sin x, g (x) = cos x$ ，则（）

A、 $f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数 B、 $f (x) \cdot g (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x) + g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、把 $f (x) + g (x)$ 图象上点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，然后再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到的函数解析式为 $y = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{π}{4})$

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (2, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ，则下列说法正确的有（）

A、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不可能垂直 B、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不可能共线 C、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 不可能为3 D、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{b}$

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13、已知 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{\cos C}{c} = \frac{\cos A}{3 b - a}$ ，则 $\tan C =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、如图所示， $△ A B C$ 是直角三角形， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点D是斜边 $B C$ 的中点，点E是线段 $A D$ 靠近点A的三等分点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $- \frac{29}{3}$ B、 $- \frac{19}{3}$ C、0 D、 $\frac{11}{6}$

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15、已知 $α$ 是第二象限角，且 $3 \sin α + 4 \cos α = 0$ ，则 $tan \frac{α}{2} =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、已知点 $A (- 1, 2)$ ， $B (2, y)$ ，向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ，若 $\vec{A B}$ ⊥ $\vec{a}$ ，则实数y的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、7 D、 $- 4$

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17、已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ ．

(1)、求方程 $f (α) = \cos 2 α$ 在 $[0, 2 π]$ 上的解集；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) + 2 \ln x,$ $x \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ．
①求 $y = F (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上的零点个数；
②记函数 $y = F (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，证明： $- \frac{1}{2} < \ln x_{0} + \frac{1}{4} \sin 2 x_{0} < \frac{1}{4}$ ．

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18、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位 $y$ （单位： $m$ ）是时间 $t (0 \leq t \leq 24$ ，单位： $h)$ 的函数，记作 $y = f (t)$ ，下面是某天水深的数据：
$t$
0
3
6
9
12
15
18
21
24
$y$
2
1.5
1
1.5
2
1.5
1
1.5
2
经长期观察， $y = f (t)$ 的曲线可近似的满足函数 $y = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0)$ .

(1)、根据表中数据，作出函数简图，并求出函数 $y = f (t)$ 一个近似表达式；

(2)、一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？

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19、正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入． $sec,csc$ 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割 $secα ＝ \frac{1}{cosα}$ ，余割 $cscα = \frac{1}{sinα}$ ．已知 $m$ 为正实数，且 ${sec}^{2} x + m {csc}^{2} x \geq 9$ 对任意的实数 $x (x \neq \frac{k π}{2}, k \in Z)$ 均成立，则 $m$ 的最小值为．

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20、已知 $x, y \in [0, \frac{π}{4}]$ ，且 $\sin x + \cos y = 1$ ， $\cos x + \sin y = \sqrt{2}$ 则 $\sin (x + y) =$ ．

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$t$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y$	2	1.5	1	1.5	2	1.5	1	1.5	2