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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{\ln (e^{x} + 1)}{x}$ ，则下列结论中正确地是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) < 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(0, 1)$ 中心对称 C、若 $m + n = 0$ ，则 $|f (m) - f (n)| > 1$ D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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2、一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量 $Y_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）表示第 $i$ 次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（）

A、X的分布列为 $P (X = k) = C_{3}^{k} {(\frac{3}{5})}^{k} {(\frac{2}{5})}^{3 - k} ， k = 1 ， 2 ， 3$ B、X的方差 $D (X) = \frac{9}{25}$ C、 $P (Y_{2} = 1) = \frac{3}{5}$ D、 $P (Y_{1} = 1 | Y_{2} = 1) = \frac{1}{2}$

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3、三棱锥 $P - A B C$ 的所有棱长均为2 $\sqrt{3}$ ， O是 $△ A B C$ 的中心，在三棱锥 $P - A B C$ 内放置一个以直线 $P O$ 为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2}}{27} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{27} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2}}{81} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{81} π$

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4、已知函数 $f (x) = sin ω x cos ω x - \sqrt{3} {sin}^{2} ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 内单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 内的零点个数最多为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5、对任意的 $x \in (0, \frac{1}{3}]$ ， $8^{x} \leq \frac{3}{2} + \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{9}]$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{1}{9}, 1)$ D、 $[\frac{1}{9}, 1) \cup (1, 3]$

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6、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}, | \vec{a} | = 2, | \vec{c} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、7 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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7、已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 10.3 ，$ 则b的值为（）
x
6
8
9
10
12
y
6
5
4
3
2

A、-0.6 B、-0.7 C、-0.8 D、-0.9

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8、已知集合 $A = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $B = \{x |3 x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(\frac{1}{3}, 2]$ B、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $R$

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + 2$ ， $a \in R$ .
（1）若 $a = - 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用奇偶性定义证明你的结论；
（2）当 $a > 0$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；
（3）若存在 $m > 0$ 使关于x的方程 $f (| x |) = m + \frac{1}{m} + 1$ 有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

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10、（1）计算 ${(\frac{16}{81})}^{\frac{1}{4}} + {(3 + π)}^{0} + \lg 4 + \lg 25 - e^{\ln 3}$ 的值；
（2）已知 $\tan θ = 2$ ，求 $\frac{\sin (π - θ) + \sin (\frac{π}{2} - θ)}{\cos (- θ) + \cos (\frac{3 π}{2} - θ)}$ 的值.

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11、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调 D、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象

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12、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则（）

A、 $2 a + b$ 的最小值是9 B、ab的最大值是8 C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值是16 D、 $\frac{2}{b - 1} + \frac{4 b}{a}$ 的最小值是4

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13、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $f (2 - 2 \cos x) < \frac{1 + \sin x}{2 \sin^{2} x} f (\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x})$ 的解集为（）

A、 ${x | 2 k π + \frac{7 π}{6} < x < 2 k π + \frac{11 π}{6}, k \in Z}$ B、 ${x | 2 k π + \frac{π}{6} < x < 2 k π + \frac{5 π}{6}, k \in Z}$ C、 ${x | 2 k π - \frac{π}{2} < x < 2 k π - \frac{π}{6}, k \in Z}$ D、 ${x | 2 k π + \frac{π}{2} < x < 2 k π + π, k \in Z}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x - 1} + 1, x \leq 1 \\ |ln (x - 1)|, x > 1 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $2 {[f (x)]}^{2} - (2 a + 5) f (x) + 5 a = 0$ 有5个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1] \cup (2, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(1, 2]$

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15、若 $\sin α - \cos α = \frac{1}{5}$ ， $α \in (π, 2 π)$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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16、如图，我们把由平面内夹角成 $60^{\circ}$ 的两条数轴 $O x$ ， $O y$ 构成的坐标系，称为“完美坐标系”. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ ， $O y$ 正方向上的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 $[x, y]$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”.

(1)、若向量 $\vec{O P}$ 的“完美坐标”为 $[3 ， 4]$ ，求 $|\vec{O P}|$ ；

(2)、已知 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ 分别为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”. 证明： $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + \frac{1}{2} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ ；

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“完美坐标”分别为 $[x_{1}, y_{1}]$ ， $[x_{2}, y_{2}]$ ，求证： $\vec{a} // \vec{b}$ 的充要条件是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .

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17、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 2 \sqrt{3})$ ， $C (2 \cos θ, \sin θ)$ ，其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、若 $\vec{A B} ∥ \vec{O C}$ ，求 $\tan θ$ 的值；

(2)、设点 $D (1, 0)$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的取值范围．

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18、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $p (- 4 m, - 3 m) (m > 0)$ .

(1)、求 $\sin θ$ ， $\cos θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin (- θ) \cdot \sin (θ - 3 π) \cdot \cos (π + θ)}{\sin (2 π - θ) \cdot \cos (3 π - θ) \cdot \sin (\frac{5π}{2} - θ)}$ 的值.

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, m), \vec{c} = (n, - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $m - n =$ .

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20、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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