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相关试卷

1、已知 $a = \frac{\ln 4}{4}, b = \frac{1}{e}, c = \frac{2}{3} \ln \frac{3}{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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2、下列数中，与 $A_{m}^{5}$ 不相等的是（）

A、 $A_{5}^{5} \cdot C_{m}^{2}$ B、 $\frac{A_{m}^{m}}{A_{m - 5}^{m - 5}}$ C、 $A_{m - 1}^{5} + A_{m - 1}^{4}$ D、 $\frac{m!}{(m - 5)!}$

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3、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有四个极值点 B、 $(2, f (2))$ 为 $f (x)$ 的极大值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递减

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4、 $(a_{1} + a_{2}) (b_{1} + b_{2}) (c_{1} + c_{2} + c_{3}) (d_{1} + d_{2} + d_{3})$ 完全展开后的项数是（）

A、5 B、10 C、13 D、36

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列，记为 ${a_{n}^{(1)}}$ ，依此类推， ${a_{n}^{(1)}}$ 的一阶差数列称为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差数列，记为 ${a_{n}^{(2)}}$ ， ...如果一个数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶差数列 ${a_{n}^{(p)}}$ 是等比数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为p阶等比数列 $(p \in N^{*})$

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1 {， a}_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$
（i）求 $a_{1}^{(1)}$ ， $a_{2}^{(1)} ， a_{3}^{(1)}$ ·
（ii）证明： $\{a_{n}\}$ 是一阶等比数列；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 为二阶等比数列， $\{b_{n}\}$ 的前5项分别为1， $\frac{20}{9} ， \frac{37}{9} ， \frac{78}{9} ， \frac{215}{9}$ ，求 $b_{n}$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P D ⊥ A D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面PCD；

(2)、若 $P A = 4$ ， E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．

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7、已知抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为．

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8、已知随机变量X服从正态分布 $N (100, 1 0^{2})$ ，则下列选项正确的是（）
（附：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ .)

A、 $E (X) = 100$ B、 $D (X) = 10$ C、 $P (X \geq 90) \approx 0.84135$ D、 $P (X \leq 120) = P (X \geq 90)$

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9、已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，实数 $m, n$ 满足不等式 $f (3 n - 2 m) + f (2 - n) > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $e^{m} > 2 e^{n}$ B、 $\frac{n + 1}{m + 1} < \frac{n}{m}$ C、 $\ln m > \ln n$ D、 $m^{2022} > n^{2022}$

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10、某单位为了了解办公楼用电量 $y$ （度）与气温 $x$ （℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程 $\hat{y} = - 2 x + \hat{a}$ ，当气温为 $- 4$ ℃时，预测用电量均为

A、68度 B、52度 C、12度 D、28度

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11、集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} - 2 x \leq 0\}, B = {x ∣ x \leq 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 2\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{x ∣ x \leq 3\}$

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12、“外观数列”是一类很有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是对它前一项的“外观描述”.例如：取数列第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项即为11；将第二项11描述为“2个1”，则第三项即为21；将第三项21描述为“1个2，1个1”，则第四项即为1211；将第四项1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项即为111221，将第五项111221描述为“3个1，2个2，1个1”，则第六项即为312211，……，这样每次从左往右将连续相同的数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的每一项.若数列 $\{a_{n}\}$ 是外观数列，将第n项 $a_{n}$ 的各位数字中相同数字连续出现的最大次数记为 $b_{n}$ .例如：外观数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1时， $b_{1} = 1 ， b_{2} = 2 ， b_{3} = 1 ， b_{4} = 2 ， b_{5} = 3 ， b_{6} = 2 .$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为12的外观数列，请直接写出 $a_{2} ， a_{3}$ 以及 $b_{2} ， b_{3}$ .

(2)、设集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, 999\}$ ，若外观数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} \in A$ .
（i）探究 $b_{n}$ 的最大值，并证明你的结论；
（ii）求所有的 $a_{1} \in A$ ，使得存在 $n_{0} \neq 1 ，$ 有 $a_{n_{0}} = a_{1} .$

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13、已知函数 $f (x) = \ln x - a (x - \frac{1}{x}), g (x) = \frac{2 \ln x}{x + 1} - x - m$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在其定义域上单调递减，求实数a的最小值.

(2)、若函数 $g (x)$ 存在两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，设 $x_{1} < x_{2}$
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明： $2 < x_{1} + x_{2} < 1 - m$ .

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14、已知抛物线 $Γ ： x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的动直线 $l$ 与 $Γ$ 相交于 $A, B$ 两点，其中点 $A$ 位于第一象限.当 $|A F| = 2$ 时，以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切于点 $P (1, 0)$ .

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、若点 $Q$ 在抛物线 $Γ$ 上，且Γ在点 $Q$ 处的切线与直线 $l$ 平行，求 $△ Q F A$ 面积的最小值以及此时直线 $l$ 的方程.

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15、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ， $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B B_{1}$ 的中点，P为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，F为棱 $A B$ 上一点，且 $A_{1}, P, M, F$ 四点共面.若 $A N ⊥ A_{1} C_{1} .$

(1)、证明：平面 $A N P ⊥$ 平面 $A_{1} P M F$ ；

(2)、设 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} C_{1}} ，$ 是否存在实数λ，使得平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $P M N$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3} ？$ 若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由.

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos C = \frac{2 b + c}{2 a} .$

(1)、求 $A$ ；

(2)、已知 $O$ 为 $B C$ 的中点， $O M ⊥ A B$ 于 $M, O N ⊥ A C$ 于 $N$ ，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 2 ，$ 求 $△ A B C$ 的面积.

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17、绝大多数比赛都采用“ $(2 n - 1)$ 局 $n$ 胜制”的规则，但也有一些项目，比如冰壶运动，其整个比赛通常是进行偶数局. 现有甲、乙两名同学进行一项趣味项目的比赛，两人约定比赛规则为：共进行 $2 n (n \in N_{+})$ 局，谁赢的局数大于 $n$ 局，谁就获得最终胜利. 已知每局比赛中，甲获胜的概率均为 $p (0 < p < \frac{1}{2}) ，$ 乙获胜的概率均为 $(1 - p)$ . 记甲赢得整个比赛的概率为 $P_{2 n}$ . 若 $p = \frac{2}{5} ，$ 则 $P_{4} - P_{2} =$ ，若 $p = \frac{5}{12} ，$ 则当 $2 n =$ 时， $P_{2 n}$ 最大.

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18、已知数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = 3 \times 2^{n} - a_{n}$ 其前2025项的和为 $2^{2026}$ ，则 $a_{2 n - 1} =$ .

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \cos x - a x, x > 0 \\ b \cos x + x, x < 0 \end{matrix}$ ，为奇函数，其中 $a ， b \in R$ ，则 $a + b =$

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20、已知直线 $l ： y = k x + 2$ （其中 $- \sqrt{3} < k < \sqrt{3} ）$ 与双曲线C： $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的上支相交于 $A, B$ 两点， $M （ x_{0}, y_{0} ）$ 为线段 $A B$ 的中点.过点 $M$ 斜率为 $\pm \sqrt{3}$ 的两条直线分别与双曲线 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点.则下列结论中正确地是（）

A、点 $M$ 的坐标满足. $y_{0}^{2} - 2 y_{0} - 3 x_{0}^{2} = 0$ B、方程 $(y - y_{0})^{2} - 3 {(x - x_{0})}^{2} = 0$ 表示的图形是直线 $M P$ 和直线 $M Q$ C、直线 $P Q$ 与直线 $l$ 始终保持平行 D、直线 $P Q$ 恒过某个定点

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气温（℃）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64