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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x + y - 3 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n_{1}} = (3, 0, λ)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\vec{n_{2}} = (2, 1, 6)$ ，若 $α ⊥ β$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、 $- 1$ D、1

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 2 n + 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4、已知 $M, N$ 为 $R$ 的子集，且 $M \cap N = \emptyset$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $M$ C、 $N$ D、 $R$

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5、已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(\sqrt{3}, 0)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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6、牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $r$ 是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L, L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .如果 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为 $r$ 的一阶近似值.再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点横坐标记为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的二阶近似值.重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - r| < ε$ 时，给出近似解.对于函数 $f (x) = x + ln x$ ，已知 $f (r) = 0$ .

(1)、若给定 $x_{0} = 1$ ，求 $r$ 的二阶近似值 $x_{2}$ ；

(2)、设 $x_{n + 1} = g (x_{n}), h (x) = - (x + 1) g (x) - ln x + e^{x} - e^{- x}$
①试探求函数 $h (x)$ 的最小值 $m$ 与 $r$ 的关系；
②证明： $m < \sqrt{e} - \frac{3}{4}$ ．

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7、杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……

(1)、设“三角垛”各层球数构成一个数列 $\{a_{n}\}$ ，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列 $\{a_{n}\}$ ；1，3，6，10，15，…，请写出 $a_{n}$ 与 $a_{n - 1} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 的递推关系，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记杨辉三角的第 $n$ 行所有数之和为 $b_{n}$ ，令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）若 $\forall n \in N^{*}, T_{n} + 2^{n + 1} < m \cdot 3^{n + 1} + 2$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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8、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (2 a - 1) e^{x} - x + \frac{1}{2}$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) \leq - (e + 1) x + \frac{1}{2}$

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象始终在直线 $y = 1$ 上方，求 $a$ 的取值范围．

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9、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点， $P$ 是 $B M$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，且 $A Q = 3 Q C$ ．

(1)、求证： $P Q //$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $△ B C D$ 为正三角形，且 $A D = C D$ ，求平面 $B M C$ 与平面 $A B D$ 夹角的正弦值．

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10、某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示）

(1)、若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？

(2)、若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？

(3)、若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？

(4)、若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？

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11、已知过点 $(2, b)$ 不可能作曲线 $y = 2 e^{x}$ 的切线.对于满足上述条件的任意的 $b$ ，函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{ln a} - \frac{b}{2} x^{2} + e^{2} x + 1 (a > 1)$ 恒有两个不同的极值点，则 $a$ 的最大值为.

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12、在 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{11}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为．（答案用数字表示）

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13、光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有种午餐安排方式．（答案用数字表示）

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 x + 1 (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + 1$ B、当 $a = - 3$ 时， $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 D、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 3]$ 内存在极值点，则 $a$ 的取值范围是 $(- 5, - 3)$

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15、已知二项展开式 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025} = 0$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2024} = 2^{2024}$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{2025}| = 2^{2025}$

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16、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(\ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ B、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(\cos x)}^{'} = - \sin x$ D、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

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17、已知 $0 < x < y < π$ ，且 $e^{y} \sin x = e^{x} \sin y$ ，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $y < \frac{π}{4}$ B、 $x + y < \frac{π}{2}$ C、 $\cos x + \cos y > 0$ D、 $\sin x > \sin y$

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18、已知 $f (x) = (2 x - 3) e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} + a x$ 在 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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19、“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如： $y = e^{x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线为 $y = x + 1$ ，如图所示，易知除切点 $(0, 1)$ 外， $y = e^{x}$ 图象上其余所有的点均在 $y = x + 1$ 的上方，故有 $e^{x} \geq x + 1$ .该结论可通过构造函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ 并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（）
① $\forall x > 0, e^{x - 1} \geq \ln x + 1$ ；② $\forall a \in R, \forall x \in R, e^{x} \geq e^{a} (x - a + 1)$ ；③ $\forall x \in R, \cos x \geq 1 - \frac{1}{2} x^{2}$ ；④ $\forall x > 0,$ $x e^{x} \geq x + \ln x + 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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20、深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（）种分配方式

A、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3}$ B、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6}$ C、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6} A_{6}^{6}$ D、 $C_{7}^{2} C_{18}^{3} C_{15}^{3} C_{12}^{3} C_{9}^{3} C_{6}^{3} A_{6}^{6} A_{6}^{6} A_{6}^{6}$

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