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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $θ (θ > 0)$ 个单位后所得曲线关于 $y$ 轴对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = \log_{m} \frac{x - 3}{x + 3}$ ，其中 $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ．

(1)、当 $f (5) = - 2$ 时，
（i）解不等式 $f (x) < 1$ ；
（ii）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 1 < \log_{2} a + \log_{2} (2 x + 3)$ 在 $x > 3$ 时恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、是否存在正实数 $m$ ，使得当函数 $f (x)$ 的定义域为 $[α, β] (β > α > 3)$ 时，其值域恰好为 $[\log_{m} (m β - m) ， \log_{m} (m α - m)]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值（用 $a, b$ 表示）；

(3)、若第二象限角 $α$ 且满足 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) = \frac{a}{3} + b$ ，求 $\cos (2 α + \frac{π}{3})$ 的值．

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4、（1）计算： $9^{\frac{1}{2} {log}_{3} 4} + 5^{1 + {log}_{5} 2} + {log}_{3} \sqrt{3} + e^{ln 3}$ ；
（2）若 $\lg 2 = a, 3^{b} = 10$ ，用 $a, b$ 表示 $\log_{12} 45$ ．

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $\forall x_{1} \neq x_{2} \in [0, + \infty)$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2 (x_{1} + x_{2})$ 恒成立，若 $f (2) = 8$ ，则满足 $f (\ln m) \leq 2 {(\ln m)}^{2}$ 的实数 $m$ 的取值范围是.

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6、已知函数 $f (x) = cos (ω x - \frac{π}{3}) - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像.已知 $g (x)$ 在 $[0, π]$ 上恰有5个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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7、已知 $α : - 1 \leq x \leq 2, β : - 2 \leq x \leq 2 a + 1$ ，若 $α$ 是 $β$ 的充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sinπ x, 0 < x \leq 1 \\ |{log}_{2} (x - 1)|, x > 1 \end{array}$ ，若存在四个实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4}) = t$ ，则（）

A、 $t$ 的范围为 $(0, 1)$ B、 $x_{3} x_{4}$ 的取值范围为 $(3, 6)$ C、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的取值范围为 $(5, \frac{11}{2})$ D、 $x_{1} f (x_{4})$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2})$

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9、已知 $a, b \in N^{+}$ ，且 $a > b$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a - b \geq 1$ B、 $\ln a > \ln b$ C、 $\sin a > \sin b$ D、 $a^{2} + a > b^{2} + 3 b + 1$

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 3]$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 有1个零点是 $x = \frac{2 π}{3}$

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11、已知定义在集合 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $\{x | f (x) > f (x^{2} + 1)\} = (a, b), (0 < a < b)$ .记 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，最大值为 $M$ ，若集合 $S = \{x | f (x) = m\}, T = \{x | f (x) = M\}$ ，设 $|A|$ 表示集合 $A$ 中元素的个数，则下列命题一定正确的是（）

A、若 $|S| \neq 1$ ，则 $S \subseteq (a, b)$ B、若 $|T| \neq 1$ ，则 $T \subseteq (a, b)$ C、若 $|S| = 1$ ，则 $S \subseteq (a, b)$ D、若 $|T| = 1$ ，则 $T \subseteq (a, b)$

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12、已知 $α$ 为锐角，且 $\tan (α + β) = 3$ ， $\tan (α - β) = 2$ ，则角 $α$ 等于（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{π}{2}$

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13、著名数学家欧拉曾研究过素数分布问题，并得到不超过整数 $x$ 的素数个数可以近似地表示为 $π (x) \approx \frac{x}{ln x}$ 的结论.根据该结论，估计10000以内的素数的个数约为（）
（参考数据： $\lg e \approx 0.4343$ ，这里 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数）

A、1086 B、2172 C、4343 D、5756

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14、若 $x \in (0, π)$ ，则 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 的最小值为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ C、4 D、5

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15、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (2, - 1)$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} =$ （）．

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + a}$ 是奇函数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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17、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$

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18、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是单调函数；②当 $x \in [m, n]$ 时， $f (x) \in [m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 3]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{9} x^{3}$ 的一个“优美区间”；

(2)、求证：函数 $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ 不存在“优美区间”；

(3)、已知函数 $h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \in R, a \neq 0)$ 有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $n - m$ 取得最大值时求 $a$ 的值.

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19、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段： $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值和估计样本的下四分位数；

(2)、按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从 $[80, 100]$ 中抽取多少份；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是53，方差是4；落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在 $[50, 70)$ 的平均数 $\bar{z}$ 和方差 $s^{2}$ .
（注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m, \bar{x}, s_{1}^{2}; n, \bar{y}, s_{2}^{2}$ .记这两层总的样本平均数为 $\bar{ω}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，则 $s^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + n [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}]\}$ ）

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20、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点， $\frac{1}{2} A A_{1} = A C = C B = A B$ .

(1)、证明： $B C_{1}$ $/ /$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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