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相关试卷

1、已知集合A满足 ${1} \subseteq A ⊊ {1, 2, 3, 4}$ ，这样的集合A有（）个

A、5 B、6 C、7 D、8

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2、祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为 $V_{半球}$ ， $V_{圆锥}$ ， $V_{圆柱}$ .

(1)、写出 $V_{半球}$ ， $V_{圆锥}$ ， $V_{圆柱}$ 三者之间的关系；

(2)、过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题：
（i）求截得的“球缺”的体积；
（ii）求截得的“球缺”的表面积.

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3、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = 3$ ， E是 $B C$ 边上一点（含端点）， $A E$ 与 $B D$ 交于点F，设 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ， $x, y \in R$ .

(1)、若E与点C重合，求x，y的值；

(2)、若 $x = \frac{2}{3}$ ，求 $\frac{|\vec{A F}|}{|\vec{A E}|}$ 的值；

(3)、若存在点E，使得 $A E ⊥ B D$ ，求 $\cos ∠ B A D$ 的取值范围.

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4、在 $△ A B C$ 中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 $a \sin B = b \cos \frac{A}{2}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $\sin B \sin C = \frac{1}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2$ ， $B_{1} B = 3$ ， D是棱 $A C$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、该正三棱柱被平面 $B D C_{1}$ 截去一个棱锥 $C_{1} - B D C$ ，求剩余部分的体积.

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6、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3 \sin x, \cos x)$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求x的值；

(2)、设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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7、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A = 2 ∠ B$ ， $A B = 2$ ， $△ A B C$ 的面积是 $\sqrt{15}$ ，则 $A B$ 边上的中线长是.

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8、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A_{1} B_{1} = 1, A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则该棱台的体积为.

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9、已知复数 $z = (2 - i) (a + i)$ 是纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数 $a$ 的值为.

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10、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = 2, P A = \sqrt{6}$ ，过 $A B$ 的平面 $α$ （不与底面重合）与侧棱 $P C$ ， $P D$ 分别交于点E，F，且平面 $α$ 将四棱锥 $P - A B C D$ 分成上下两个部分的体积分别为 $V_{1}$ ， $V_{2}$ ，则以下命题正确的是（）

A、 $A F / / B E$ B、 $C D / / E F$ C、若E是 $P C$ 的中点，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5}$ D、若平面 $α$ 经过正四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的球心，则 $\frac{P E}{E C} = \frac{3}{2}$

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 都是单位向量，且 $\vec{a} - \vec{b} = t \vec{c} (t \in R)$ ，则以下命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $t = 0$ B、若 $t = 2$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ C、若 $t = 1$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ D、若 $t = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{c}$

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12、已知复数z， $z_{1}$ ，其中i为虚数单位，则以下命题正确的是（）

A、若 $z_{1} = 2 z$ ，则 $\bar{z_{1}} = 2 \bar{z}$ B、若 $z_{1} = z + 1 + i$ ，则 $\bar{z_{1}} = z + 1 + i$ C、若 $z_{1} = z + i z$ ，则 $|z_{1}| = \sqrt{2} |z|$ D、若 $z_{1} = \frac{z}{1 - i}$ ，则 $|z_{1}| = \frac{1}{2} |z|$

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13、如图所示，等边 $△ A B C$ 内有3个全等的小三角形，且 $E F = 2$ ， $\tan ∠ A B E = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、7 B、 $7 \sqrt{3}$ C、14 D、 $14 \sqrt{3}$

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14、在等腰 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，点P在底边 $B C$ （包括端点）上运动，设 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为m，最大值为M，则（）

A、m不是定值，M是定值 B、m是定值，M不是定值 C、m是定值，M是定值 D、m不是定值，M不是定值

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15、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α \cap β = n$ ， $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $m / / β$ D、若 $m, n$ 为异面直线，且 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α \cap β = l$ ，则l与m，n中至少一条相交

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边， $a^{2} - c^{2} = a b - b^{2}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 ${|\vec{a}|}^{2} - {|\vec{b}|}^{2} =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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18、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2 - i} = 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 4$ B、 $- 4 i$ C、4 D、 $4 i$

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19、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过 $C$ 上点 $A (4, 2)$ 的切线交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $G$ 的直线与 $C$ 交于 $B, D$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、比较 ${|G A|}^{2}$ 与 $|G B| \cdot |G D|$ 的大小，并说明理由；

(3)、过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $T (0, 2 \sqrt{2})$ ， $P T$ ， $Q T$ 的延长线分别交 $C$ 于 $M, N$ 两点，求点 $A$ 到直线 $M N$ 距离的最大值.

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20、某学校有 $A$ 、 $B$ 两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去 $A$ 餐厅的条件下，后一天继续选择 $A$ 餐厅的概率为 $\frac{1}{3}$ ；而在前一天选择去 $B$ 餐厅的条件下，后一天继续选择去 $B$ 餐厅的概率为 $\frac{3}{5}$ ，如此往复.

(1)、求该同学第一天和第二天都选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率；

(2)、求该同学第二天选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率；

(3)、记该同学第 $n$ 天选择去 $A$ 餐厅用晚餐的概率为 $P_{n}$ ，求 $\{P_{n}\}$ 的通项公式.

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