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相关试卷

1、若曲线 $y = 2 \ln x + a$ ( $a \in ℝ$ ) 与圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{5}{4}$ 有公共点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，且在点 $P$ 处的切线相同，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率 $e$ 的最大值为（）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3、若随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (A | B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A + B) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{12}$

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4、函数 $f (x) = (x^{2} - x - 1) e^{x}$ 的极小值点是（）

A、 $x = - 2$ B、 $(- 2, 5 e^{- 2})$ C、 $x = 1$ D、 $(1, - e)$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = k n^{2} + 2 n$ ， $a_{2} = 5$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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6、“ $x \neq 1$ ”是“ $x + \frac{1}{x} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ ，则抛物线的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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8、已知函数 $f (x) = (\ln x - m x) (x + \frac{1}{x} - m - 1)$ ，若 $f (x) \leq 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}}, 1]$ C、 $[1, e]$ D、 $[\frac{1}{e}, 1]$

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9、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $(m - 1) f (m - 2) \leq 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [1, 4]$ C、 $[- 1, 0] \cup [2, 5]$ D、 $[- 1, 5]$

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10、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点 $F$ 是 $B C$ 边上的中点，点 $E$ 是 $C D$ 边上一个动点．则 $\vec{E A} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围是．

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11、数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的众数为；

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a - b = c \cos B - c \cos A$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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13、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $24 π$

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14、化简 $\vec{A B} + \vec{C A} + \vec{B C}$ =（）

A、0 B、 $\vec{0}$ C、 $\vec{A C}$ D、 $\vec{C A}$

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15、已知 $A$ 是函数 $y = f (x)$ 定义域的子集，若 $\exists t \in R, \forall x \in A, f (x + t) - (t + 1) \cdot f^{'} (x) \geq 0$ 成立，则称 $y = f (x)$ 为 $A$ 上的“ $L (t)$ 函数”.

(1)、判断 $f (x) = cos x$ 是否是 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的“ $L (0)$ 函数”？请说明理由；

(2)、证明：当 $e^{p} + \frac{p - 1}{e - 2} = 0$ （ $p$ 是与 $x$ 无关的实数）， $g (x) = e^{x} + x$ 是 $(q, + \infty)$ 上的“ $L (1)$ 函数”时， $q \geq p$ ；

(3)、已知 $h (x) = x^{2} - a x$ 是 $[0, 2]$ 上的“ $L (2)$ 函数”，求 $a$ 的取值范围.

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16、为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.

(1)、用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；

(2)、将此次竞赛成绩 $ξ$ 近似看作服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ （用样本平均数和标准差 $s$ 分别作为 $μ, σ$ 的近似值），已知样本的标准差 $s \approx 7.5$ .现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(3)、从得分区间 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间 $[90, 100]$ 的概率.
参考数据：若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.99$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，且 $∠ P F_{2} F_{1}$ 为钝角，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为.

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18、已知具有线性相关性的变量 $x, y$ ，设其样本点为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ ，经验回归方程为 $\hat{y} = - 2 x + \hat{a}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 40$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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19、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $g (x) - f (3 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x - 1)$ ，且 $g (x + 2)$ 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 B、 $f (2) + f (4) = 4$ C、 $\sum_{k = 1}^{2027} g (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = - 4050$

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20、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，数列 $\{f (a_{n})\}$ 的前n项的和为 $T_{n}$ .则下列各项的两个命题中， $p$ 是 $q$ 的必要条件的是（）

A、 $p : f (a_{5}) = 0$ ， $q : S_{9} = 0$ B、 $p : S_{10} = 0$ ， $q : f (a_{5} + a_{6}) = 0$ C、 $p : a_{5} = 0$ ， $q : T_{9} = 0$ D、 $p : T_{10} = 0$ ， $q : a_{5} + a_{6} = 0$

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