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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $A H = \sqrt{2}$ ，求 $A H \cdot B H + C H$ 的取值范围．

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2、如下图所示，多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 是由长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ ．

(1)、求该多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 的体积；

(2)、求证： $B_{1} C //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(3)、判断直线 $E F$ 与直线 $B_{1} C$ 的位置关系，并对你的结论加以证明．

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3、甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 $A B C D$ 处，碳原子位于正四面体的中心 $O$ 处．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则平面 $O A B$ 和平面 $O C D$ 位于正四面体内部的交线长度为

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4、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 120 °$ ， $C D = 10 m$ ，并在点C测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ m．

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5、在复数范围内，方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的解为

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B + {cos}^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $sin 2 A > sin 2 B$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，给出的四个结论，正确的是（）

A、对于任意的点 $E$ ， $E D_{1} // B F$ B、存在点 $E$ ，使得 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $B E D_{1} F$ C、存在点 $E$ ，使直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} E$ 共面 D、存在唯一的点 $E$ ，使得截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值

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8、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A、 $\frac{500 π}{3}$ cm³ B、 $\frac{866 π}{3}$ cm³ C、 $\frac{1372 π}{3}$ cm³ D、 $\frac{1000 π}{3}$ cm³

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9、已知 $\vec{A C} = (- 1, 3)$ ， $\vec{A B} = (3, 1)$ ，若线段 $B C$ 的一个三等分点为 $M$ ，则 $\vec{A M}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$ 或 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ 或 $(\frac{10}{3}, \frac{7}{3})$

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10、已知在 $△ A B C$ 中， $cos A = \frac{4}{5}$ ， $tan B = 2$ ，则 $tan C$ 的值为（）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $\frac{11}{2}$

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11、已知 $α, β$ 为两个不同的平面， $m, n, l$ 为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α / / β$ ，且 $m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $l / / m, l / / n$ ，且 $m, n \subset α$ ，则 $l / / α$

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12、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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13、 $△ A B C$ 为锐角三角形，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $D$ 为 $A C$ 上一点，且 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $2 \cos B (a \cos C + c \cos A) = b$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围；

(3)、若 $b = \sqrt{3}$ ，求 $|\vec{O B} + 3 \vec{O D}|$ 的取值范围.

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14、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E$ //平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A A_{1} = 2$ ，求三棱锥 $E - A B_{1} C_{1}$ 的体积．

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15、一个箱子里有6个大小颜色相同的小球，编号为 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ，从中有放回地抽取2次（每次取1个球）.设事件 $A$ ：“第一次取出的球的号码大于3”，事件 $B$ ：“两次取出的球的号码之和为偶数”.

(1)、求事件 $A$ 的概率；

(2)、判断事件 $A$ 与事件 $B$ 是否相互独立，并说明理由.

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ .

(1)、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角.

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，且 $B D = 1$ ，则 $9 a + c$ 的最小值为．

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18、一台机床生产一种零件，10天中生产的次品数为： $0, 1, 0, 2, 2, 0, 3, 1, 2, 4$ ，则这10天生产次品数的方差是.

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19、圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，则其体积是原来的倍.

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20、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别是棱 $B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点，P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点，则下列结论正确的是（）

A、若 $D P //$ 平面CEF，则点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $A P = \sqrt{17}$ ，则点P的轨迹长度为 $2 π$ C、若P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，Q在线段EF上，则 $P Q + C Q$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ D、若P是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，三棱锥 $P - C E F$ 的外接球球心为O，则平面 $A_{1} B C D_{1}$ 截球O所得截面的面积为 $\frac{81 π}{8}$

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