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相关试卷

1、设集合 $M = \{y |y = 2 x, x \in [- 1, 1]\}$ ， $N = \{x |y = \log_{2} (1 - x)\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $[1 ， 2]$ C、 $[- 2 ， 1)$ D、 $[- 2 ， 1]$

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2、已知函数 $f (x) = a ln x - x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $m \leq x^{2} e^{x} + 1 - x - 2 \ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

(3)、 $n$ 为正整数，当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(n, f (n))$ 处的切线记为 $L_{n}$ ，直线 $L_{n}$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标记为 $y_{n}$ ，证明： $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{n} \leq \frac{n^{2} - 5 n}{2}$ ．

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3、将6个不同的小球放入编号分别为 $1, 2, 3$ 的三个不同盒子.（过程要用文字简要说明，结果用数字作答）

(1)、求共有多少种不同放法；

(2)、当每个盒子的球数不小于它的编号数时，求共有多少种不同放法；

(3)、当每个盒子至少有一个小球时，求共有多少种不同放法；

(4)、若将题干中“6个不同的小球”改为“9个相同的小球”，其他条件不变，则当每个盒子的球数不小于它的编号数时，共有多少种不同放法？

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4、某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“ $A$ 通识过关— $B$ 综合拓展— $C$ 创新提升”三层动态原库，且 $A, B, C$ 三层题量之比为 $7 : 3 : 2$ ，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.

(1)、现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自 $B$ 层的概率；

(2)、现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到 $A$ 层题的题数为 $X$ ，求 $X$ 的分布与期望 $E (X)$ ．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} - 1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{2 n - 1} \cdot b_{2 n + 1}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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6、将杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1、…记作数列 ${a_{n}}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{69} =$ .

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7、若函数 $f (x) = x e^{x} - \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2}$ 有唯一一个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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8、某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为．

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9、已知 $(x + 1) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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10、甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各局比赛结果相互独立. 在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{16}{81}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11、将函数 $y = x^{3} + 16$ 的图象绕坐标原点顺时针旋转 $θ$ 后第一次与 $x$ 轴相切，则 $\tan θ =$ （）

A、 $8$ B、 $4$ C、 $12$ D、 $5$

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12、人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为 $M$ 市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中 $x$ 为月份代号， $y$ （单位：万台）为AI电脑的月销量.
月份
2024年11月
2024年12月
2025年1月
2025年2月
2025年3月
月份代号 $x$
1
2
3
4
5
月销量 $y$
0.5
0.9
1
1.2
1.4
经过分析， $y$ 与 $x$ 线性相关，且其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.21 x + \hat{a}$ ，则2025年3月的残差为（）（实际值与预计值之差）

A、 $- 0.04$ B、 $- 0.02$ C、0.02 D、0.04

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13、现有5名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来5名同学顺序不变，不同的方法共有（）

A、30种 B、56种 C、12种 D、42种

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14、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，且 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - 3 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} = 9$ ，则 $f^{'} (x_{0}) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $3$ C、 $- 3$ D、2

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15、已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，其中 $a_{6} = - 1$ ， $a_{10} = - 9$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $5$

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16、对于一个函数 $f (x)$ 和两个点 $M (a, b)$ ， $N (c, d)$ ，给出如下定义：记： $γ (x) = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(f (x) - b)}^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + {(f (x) - d)}^{2}}$ ，若 $P (x_{0}, f (x_{0}))$ 满足 $γ (x_{0}) = λ$ ，则称P是M，N视角下 $f (x)$ 的“基于 $λ$ 的回点”.

(1)、若 $f (x) = e^{x} \sin x$ ，点 $M (1, 1)$ ， $N (- 1, - 1)$ ，求：M，N视角下 $f (x)$ 的基于 $2 \sqrt{2}$ 的回点P的坐标；

(2)、若 $f (x) = a e^{x}$ ， $(0 < a \leq 1)$ ，对于点 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，若M，N视角下 $f (x)$ 的“基于 $2 \sqrt{2}$ 的回点”恰有两个，记为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ，求证：直线 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的斜率 $k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = e$ （e为自然对数的底），且 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + A a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、当 $A = 0$ 时，令 $b_{n} = \ln a_{n}$ ，求 $b_{n}$ 的通项公式及其前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、当 $A = 1$ 时，令 $c_{n} = \frac{1}{1 + a_{n}}$ ， $T_{n} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n}$ ， $R_{n} = c_{1} \times c_{2} \times \dots \times c_{n}$ ，求 $e T_{n} + R_{n}$ 的值.

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18、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B // C D$ ， $D C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = B C = A D = 1$ ，点 $E$ 和 $F$ 分别在侧棱 $A A_{1}$ 、 $C C_{1}$ 上，且 $A_{1} E = C F = 1$ ．
（1）求证： $B C //$ 平面 $D_{1} E F$ ；
（2）求直线 $A D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正弦值．

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19、已知锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足 $b \cos C = a - 2 \cos B$ .

(1)、求c的值；

(2)、若 $\tan C (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B}) = \frac{4}{3}$ ，求 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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20、在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α - β)$ =.

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月份	2024年11月	2024年12月	2025年1月	2025年2月	2025年3月
月份代号 $x$	1	2	3	4	5
月销量 $y$	0.5	0.9	1	1.2	1.4