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相关试卷

1、复数 $(1 - \sqrt{2} i) \cdot i$ 的虚部是

A、1 B、-1 C、i D、-i

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2、设函数 $f (x) = a e^{x} + b x^{2} + c x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ， $b = c = - 1$ ，求证： $f (x)$ 有零点：

(2)、若 $a = 0$ ， $b = - 1$ ，是否存在正整数m，n，使得不等式 $m \leq f (x) - c \leq n$ 的解集为 $[m, n]$ ，若存在，求m，n；若不存在，说明理由；

(3)、若 $b \neq 0$ ，非空集合 $\{x \in R| f (x) = 0\} = \{x \in R| f (f (x)) = 0\}$ ，求 $a + c$ 的取值范围．

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3、设 $f (x) = (x - 2) e^{\frac{x}{2}}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ ．

(1)、求k，b的值；

(2)、证明： $f (x) \geq k x + b$ ；

(3)、若 $f (x) = a$ 存在两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < 0$ ．

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4、销售甲、乙两种商品所得利润分别是 $y_{1}, y_{2}$ 万元，它们与投入资金 $x$ 万元的关系分别为 $y_{1} = m \sqrt{x + 1} + a$ ， $y_{2} = b x$ ，（其中 $m, a, b$ 都为常数），函数 $y_{1}, y_{2}$ 对应的曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 如图所示．
（1）求函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

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5、函数 $y = \sqrt{4 + x^{2}} - \frac{1}{3} x$ 的最小值为．

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，若 $f (3 x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2) - 2$ 为奇函数，且 $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为周期函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 C、 $f (- 3)$ ， $f (- 2)$ ， $f (- 1)$ 成等差数列 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (9) = 16$

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7、已知 $a = {log}_{2} 3 + {log}_{3} 2$ ， $b = {log}_{4} 5 + {log}_{5} 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b > 2$ B、 $a > 2 > b$ C、 $b > a > 2$ D、 $2 > a > b$

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8、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则m的值为（）

A、1 B、-3 C、-4 D、1或-3

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9、命题 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 1$ 的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 1$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 1$

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10、已知集合 $A = \{x \in N |- 1 < x \leq 4\}$ ， $B = {- 1, 1, 3, 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 4}$ B、 ${1, 3}$ C、 ${- 1, 1, 2, 3, 4, 5}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}$

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的正三角形， $P C = 2 \sqrt{3}$ ， $E$ 是 $P C$ 中点，过点 $A$ ， $B$ ， $E$ 的平面与 $P D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $A B // E F$ ；

(2)、求证： $A F ⊥ A B$ ；

(3)、求二面角 $F - P C - A$ 的正切值.

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12、下列命题正确的是（）

A、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3 = 0$ C、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分且不必要条件 D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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13、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为单位向量，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - 2 \vec{b})$ 的最大值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 + \sqrt{7}$ D、5

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14、已知平面 $α$ 和不重合的两条直线 $m, n$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ n, m$ $∥$ $α$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ，则 $n$ $∥$ $α$ C、若 $m$ $∥$ $n, m$ $∥$ $α$ ，则 $n$ $∥$ $α$ D、若 $m$ $∥$ $n, m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$

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15、已知事件 $A$ 和事件 $B$ 独立，若 $P (A) = P (B) = 0.3$ ，则 $P (A + \bar{B}) =$ （）

A、0.21 B、0.51 C、0.79 D、0.91

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16、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $△ A B S$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $B S$ 的中点．

(1)、求证： $S D / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若平面 $A B S ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求点 $E$ 到平面 $A S D$ 的距离．

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17、已知函数 $f (x) = x \sin x$ ， $g (x) = x^{2} - a x^{3}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上的单调性.

(2)、已知 $x h (x) = g (x) - f (x)$ .
（i）若函数 $h (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上只有一个极值点，求a的取值范围；
（ii）当 $a = \frac{1}{π}$ 时，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $h (x) = k$ 的两个根， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，证明： $x_{1} > - x_{2}$ .

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2， $P (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆外一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P (2, 2)$ ，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程；

(3)、若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A A_{1} = 4 \sqrt{3}$ ，点D是BC的中点，点F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点E在AC上，且 $A E = 3 E C$ .

(1)、证明： $B F / /$ 平面 $B_{1} D E$ .

(2)、求平面 $B_{1} D E$ 与平面 $B B_{1} D$ 夹角的余弦值.

(3)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在一点P，使得直线PF与平面 $A_{1} B_{1} B A$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $A_{1} P$ 的长；若不存在，请说明理由.

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20、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} = 5$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n + 1} > m a_{n}$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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