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相关试卷

1、向量 $\vec{a} = (1, 0, k), \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $k \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ ．

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2、已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + a y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + (1 - a) y - 1 = 0$ ，则（）

A、 $l_{1}$ 的斜率可为任意值 B、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a^{2} = \frac{1}{2}$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a^{2} = 1$ D、当 $0 \leq a \leq 1$ 时， $l_{2}$ 不经过第三象限

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3、空间中，已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，那么“ $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面”的充分不必要条件是（）

A、存在唯一一组实数 $λ$ 、 $μ$ ，使得 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ B、 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ C、不存在实数 $λ$ 、 $μ$ ，使得 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ D、 $\vec{c} = \vec{0}$

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4、（多选）若圆上的点 $(2, 1)$ 关于直线 $x + y = 0$ 的对称点仍在圆上，且圆的半径为 $\sqrt{5}$ ，则圆的标准方程可能是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 5$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ C、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$

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5、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面ABC为直角三角形且 $A B = A C = A A_{1}$ ， $\vec{B_{1} P} = λ \vec{C_{1} B_{1}}$ 且 $λ \in (- 1, - \frac{1}{2})$ ，求二面角 $P - A C - B$ 的平面角的余弦值的取值范围（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{5}]$ B、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{5}}{5})$

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6、直线 $l_{1} : 5 x - 12 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} : 10 x - 24 y - 18 = 0$ 上各有一动点 $P$ 、 $Q$ ，那么 $|P Q|$ 最小值为（）

A、0 B、1 C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{22}{13}$

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7、曲线 $| x |^{2} + {(|y| - 4)}^{2} = 1$ 所表达的图形是（）

A、以 $(0, 4)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆 B、以 $(0, 4)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆面 C、以 $(0, 4)$ 为圆心1为半径的圆和以 $(0, 4)$ 为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D、以 $(0, 4)$ 为圆心1为半径的圆和以 $(0, - 4)$ 为圆心，1为半径的圆

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8、圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ 上到点 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ 距离最小的点的坐标为（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(6, 8)$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{279} + 16}{4})$

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9、以下说法正确的个数是（）
①平行于同一向量的向量共线．
②空间中，不以原点为起点的 $\vec{A B}$ 关于原点对称的向量是 $\vec{B A}$ ．
③正四面体任意以顶点为起点和终点构成的向量之间夹角为 $\frac{π}{3}$
④直线l的方向向量是 $\vec{l} = (1, - 1, 0)$ ，平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (0, 1, 0)$ ，那么直线l与平面 $α$ 所成角为 $\frac{3 π}{4}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、 $A = \{(x, y) | x + y + 2 = 0\}$ ， $B = \{(x, y) | x - y = 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $x \neq - 1$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $\{(x, y) | x = - 1, y = - 1\}$ D、 $\{(x, y) | x + y + 2 = 0, x \neq - 1\}$

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11、向量 $\vec{A C} = (\sqrt{2}, 0, 1), \vec{A D} = (\frac{\sqrt{2}}{4}, - 3, 2)$ ，则 $\vec{A C} - 4 \vec{D A} =$ （）

A、 $(0, - 12, 7)$ B、 $(0, 12, - 7)$ C、 $(2 \sqrt{2}, - 12, 9)$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, 12, - 9)$

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12、直线的方向向量坐标为 $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ，则直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线相同，且经过点 $(2, 3)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ 的直线 $l$ 过双曲线的左焦点，分别交双曲线于 $P$ 、 $Q$ 两点，求证： $O P ⊥ O Q$ .

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14、已知点 $P (1, 3)$ ，点 $N (- 3, - 1)$ ，直线 $l_{1}$ 过点 $(- 2, 4)$ 且与直线 $P N$ 垂直.

(1)、求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求直线 $l_{2} : 2 x + y - 5 = 0$ 关于直线 $l_{1}$ 的对称直线的方程.

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15、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 ${x | x \leq - 4$ 或 $x \geq 3}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a + b + c > 0$ C、不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < 12\}$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{4}\}$

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16、已知函数 $f (x) = \ln e^{2 x} - \ln x + a x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若方程 $e^{x - 1} + \frac{a f (x)}{x} = {(a + 1)}^{2}$ 有两个不同的实数根，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，椭圆上动点 $Q$ 到右焦点 $F$ 的距离最大值等于3．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是坐标平面上的动点，且线段 $F M$ 的垂直平分线与 $C$ 恰有一个公共点
①求动点 $M$ 的轨迹方程；
②求线段 $|M Q|$ 的长度的取值范围．

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B C$ 的中点，侧棱 $A A_{1}$ 上点 $E, F$ 满足 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ．

(1)、证明： $P E / /$ 平面 $B_{1} C F$ ；

(2)、若 $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $A F = \frac{2}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $B_{1} C F$ 所成角的正弦值．

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19、已知数列{a_n}，其前n项和记为S_n ，满足 $a_{2} + a_{4} = 10$ ， $a_{n} + 2 = S_{n + 1} - S_{n}$ .

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n.

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 3$ ， $A D = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A D = 150 °$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，过点A的平面 $α$ 与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形 $A E F G$ 为菱形，则 $P A =$ ．

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