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相关试卷

1、已知随机变量 $X ~ B (6, p)$ ， $Y ~ N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (Y \geq 4) = \frac{1}{2}$ ， $E (X) = E (Y)$ ，则 $p =$ .

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2、某区四所高中各自组建了排球队 $($ 分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队” $)$ 进行单循环比赛 $($ 即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛 $) ，$ 最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得 $3$ 分，平一场得 $1$ 分，负一场得 $0$ 分 $.$ 若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为 $\frac{1}{3} ，$ 且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（）

A、甲队积分为 $9$ 分的概率为 $\frac{1}{27}$ B、不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C、甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 $\frac{1}{27}$ D、甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 $\frac{8}{243}$

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3、下列说法正确的有（）

A、 $a + \frac{1}{a}$ 的最小值为 $2$ B、已知 $a > 0, b > 0, a b = a + b + 3$ ，则 $a b$ 的取值范围是 $[9, + \infty)$ C、已知 $a > 0, b > 0, a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{4 b^{2} + 1}{2 b}$ 的最小值为4 D、已知 $a > b > 0, \frac{1}{a - b} + \frac{1}{a + b} = 4$ ，则 $5 a - 4 b$ 最小值为2

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4、已知由样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 8)$ 组成的一个样本，得到回归直线方程为 $\hat{y} = 2 x - 0.4$ 且 $\bar{x} = 2$ ，去除其中两个点 $A (- 2, 7)$ 和 $B (2, - 7)$ 后，得到新的回归直线的 $\hat{b} = 3 .$ 则下列说法正确的是（附：样本点 $(x_{i}, y_{i})$ 的残差 $\hat{e_{i}} = y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ ）（）

A、相关变量 $x, y$ 具有正相关关系 B、去除点 $A, B$ 后的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x - 3.2$ C、去除点 $A, B$ 后，随 $x$ 值增加相关变量 $y$ 值增加速度变小 D、去除点 $A, B$ 后，样本点 $(4, 8.9)$ 的残差为 $0.1$

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5、将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3且一端固定的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（）种不同的放置与上色方式

A、11232 B、10483 C、10368 D、5616

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6、互不相等的正实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in \{2, 4, 5, 9\}, x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, x_{i_{4}}$ 是 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列，设随机变量 $X, Y$ 满足： $\{\begin{matrix} X = \max \{m i n \{x_{i_{1}}, x_{i_{2}}\}, m i n \{x_{i_{3}}, x_{i_{4}}\}\} \\ Y = \min \{m a x \{x_{i_{1}}, x_{i_{2}}\}, m a x \{x_{i_{3}}, x_{i_{4}}\}\} \end{matrix}$ ，则（）

A、 $E (X) < E (Y), D (X) > D (Y)$ B、 $E (X) < E (Y), D (X) = D (Y)$ C、 $E (X) > E (Y), D (X) > D (Y)$ D、 $E (X) > E (Y), D (X) = D (Y)$

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7、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{43}{50}$ C、 $\frac{437}{475}$ D、 $\frac{877}{950}$

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8、不等式 $2 | x + 2 | + | x - 1 | \geq 5$ 成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $x \leq - 1$ 或 $x \geq 0$ B、 $x \geq 0$ C、 $x \leq - \frac{8}{3}$ 或 $x \geq 0$ D、 $x \geq 1$

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9、 $(1 - \frac{1}{x}) {(2 x - 1)}^{8}$ 的展开式中的常数项为（）

A、17 B、16 C、 $- 16$ D、 $- 17$

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10、命题“ $\exists x > 0, x^{2} - a x + b < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} - a x + b \geq 0$ B、 $\exists x \leq 0, x^{2} - a x + b < 0$ C、 $\forall x \leq 0, x^{2} - a x + b \geq 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} - a x + b \geq 0$

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11、已知集合 $A = {x | x = 5 n + 1, n \in N} ， B = {y | 0 < y < 21, y \in N} ，$ 则集合 $A \cap B$ 的子集的个数为（）

A、4个 B、8个 C、16个 D、32个

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E的左顶点N到点 $M (1, 1)$ 的距离为 $\sqrt{10}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程．

(2)、过点M作斜率和为2的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与E交于A，B两点和C，D两点．
（i）若 $△ M N B$ （点B在点A的下方）的面积为 $\frac{5}{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程；
（ii）设AB，CD的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + n + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

(3)、设 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n = 2 k - 1, \\ a_{n} + 2, n = 2 k, \end{array}$ $k \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{c_{i}} < \frac{3}{2}$ ．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D = A D = 2 A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $O$ 为 $A D$ 的中点， $A B ∥$ 平面 $P O C$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ ．

(2)、求三棱锥 $P - A B D$ 的外接球 $Q$ 的表面积．

(3)、若 $B D = B C$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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15、已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} - 4 x (a > 0)$ ，函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 的斜率为 $- 1$ 的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 的极小值大于0，求a的取值范围．

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16、某公司组织户外拓展活动，为探究员工参与该活动的积极性与员工的性别是否有关，对公司员工进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
参与户外拓展活动的积极性
性别
合计
女
男
积极参与
75
e
h
不积极参与
m
f
35
合计
100
g
200

(1)、求m，e，f，g，h；

(2)、在公司员工中任选1人，记事件A为“选到的员工是男性”，事件B为“选到的员工积极参与户外拓展活动”，估计 $P (B |\bar{A})$ 的值；

(3)、根据小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，能否认为是否积极参与户外拓展活动与性别有关?
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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17、已知身高互不相同的6个人排成一排，记 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{6}$ 是对应站位为1，2，…，6的各人的身高数据的一个排列，则对任一组 $a_{i - 1} < a_{i}$ 和 $a_{i} > a_{i + 1}$ （ $i = 2, 3, 4, 5$ ），各组中的两个不等关系至少有一个成立的概率为．

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18、已知函数 $f (x) = \ln |\frac{a}{x} - b|$ （ $a \neq 0$ ， $a, b \in R$ ）的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称，则 $a b =$ ．

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d = - 2$ ， $a_{4} = 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前5项和 $S_{5} =$ ．

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20、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 与动圆 $M : x^{2} + {(y - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4} + 1 (m \in R)$ 恰有两个交点，则下列说法正确的是（）

A、双曲线C的离心率为2 B、双曲线C的渐近线被圆M截得的弦长为2 C、双曲线C上存在一条弦，该弦的中点坐标为 $(1, 1)$ D、过双曲线C的一个焦点F作圆M的两条切线，切点分别为A，B，则 $∠ A F B = 60^{\circ}$

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参与户外拓展活动的积极性	性别		合计
参与户外拓展活动的积极性	女	男	合计
积极参与	75	e	h
不积极参与	m	f	35
合计	100	g	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828