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相关试卷

1、随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别
日均刷“抖音”时间超过2小时
日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性
48
72
女性
24
56

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？

(2)、现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{4}{5}$ ，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表．
年份t
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码 $x (x = t - 2018)$
1
2
3
4
5
销量y（万辆）
11
13
18
21
27

(1)、统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

(2)、该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为 $1 : 3$ ．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望．
参考公式：
对于一组数据 $(x_{n}, y_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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3、甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则 $E (X)$ =.

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4、如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为.

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5、已知 $n$ 个点 $p_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 大致呈线性分布，其中 $x_{i} = i$ ，且数据 $(x_{i}, y_{i})$ 的回归直线方程为 $y = 2 x - 11$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ 的最小值为．

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6、100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是.

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7、已知 $\min \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 表示 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中最小的数， $\max \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 表示 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中最大的数.若 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的任意排列，设 $X = \min \{\max \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}, \max \{a_{4}, a_{5}, a_{6}\}\}$ ， $Y = \max \{\min \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}, \min \{a_{4}, a_{5}, a_{6}\}\}$ ，则（）

A、排列总数为720个 B、满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ 的排列有80个 C、 $X > 4$ 的概率为 $\frac{3}{5}$ D、 $X > Y$ 的概率为 $\frac{9}{10}$

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8、下列说法中正确的是（）

A、样本数据3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数是 $7.5$ B、随机变量 $X ~ B (4, p)$ ，若 $E (X) = \frac{4}{3}$ ，则 $D (X) = \frac{8}{9}$ C、已知随机事件A，B，且 $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ，若 $P (B | A) + P (\bar{B}) = 1$ ，则事件A，B相互独立 D、已知变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为 $\hat{y} = 0.6 x + m$ ，若样本中心点为 $(m, - 3.2)$ ，则实数m的值为 $- 2$

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9、甲、乙两人进行 $2 n (n \in N^{*})$ 局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛，记甲赢得比赛的概率为 $P (n)$ ，假设每局比赛互不影响，则（）

A、 $P (2) = \frac{1}{4}$ B、 $P (3) = \frac{11}{16}$ C、 $P (n) = \frac{1}{2} - \frac{C_{2 n}^{n}}{2^{2 n + 1}}$ D、 $P (n)$ 单调递减

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10、随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = p_{i}, i = 1, 2, 3, 4$ ，若 $p_{2} + 2 p_{3} + 3 p_{4} = 2, 7 p_{2} + 12 p_{3} + 15 p_{4}$ $= 11$ ，则 $D (X) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11、已知 $X ~ B (3, p) (0 < p < 1)$ ， $4 P (X = 3) + P (X = 2) = \frac{7}{8}$ ，且 $Y = 2 X + 1$ ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $p = \frac{1}{2}$ B、 $E (X) = \frac{3}{2}$ C、 $D (X) = \frac{3}{4}$ D、 $E (Y) - 1 = 2 D (Y)$

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12、随机变量 $X$ 的分布列如表所示，则 $E (X)$ 的最大值是（）
$X$
$- 1$
0
$a$
$P$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} + a$
$\frac{1}{4} - b$

A、 $- \frac{5}{8}$ B、 $- \frac{15}{64}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{19}{64}$

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13、下列说法中，正确的命题是（）

A、已知随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2}), P (X < 4) = 0.8$ ，则 $P (2 < X < 4) = 0.2$ B、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C、若样本数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \dots, 2 x_{10} + 1$ 的方差为8，则数据 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{10}$ 的方差为2 D、已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为 $y = \hat{a} + \hat{b} x$ ，若 $\hat{b} = 2, \bar{x} = 1, \bar{y} = 3$ ，则 $\hat{a} = - 1$

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14、空间直角坐标系 $O x y z$ 中，任何一个平面的方程都能表示成 $a x + b y + c z + d = 0$ （其中 $a, b, c, d$ 均为常数， $a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0$ ）， $\vec{n} = (a, b, c)$ 为该平面的一个法向量.已知球 $O$ 的半径为4，点 $A, B, C$ 均在球 $O$ 的球面上，以 $O A, O B, O C$ 所在直线分别为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系 $O x y z$ ，如图所示.平面 $O B C$ 内的点 $E$ 在球面上，点 $E$ 在 $y$ 轴上的投影在 $y$ 轴的正半轴上， $C E = 4$ ，过直线 $C E$ 作球 $O$ 的截面 $α$ ，使得平面 $α ⊥$ 平面 $O B C$ ，设截面 $α$ 与球 $O$ 球面的交线为圆 $M$ （ $M$ 为线段 $C E$ 的中点）.

(1)、求点 $E$ 的坐标.

(2)、若平面 $β : 2 x + \sqrt{3} y - z = 1$ ，证明：平面 $α ⊥$ 平面 $β$ .

(3)、已知点 $B$ 在平面 $γ : λ x + μ y + t z = 4$ 内，设线段 $M E$ 在平面 $α$ 内绕着点 $M$ 逆时针旋转 $θ$ 弧度至 $M H$ ，点 $H$ 在圆 $M$ 上，且 $θ \in [0, 2 π)$ ，过 $H$ 作 $H P ⊥$ 平面 $A O B$ ，垂足为点 $P$ .
①用 $θ$ 表示点 $H$ 的坐标；
②若 $\sqrt{3} λ = - t = \sqrt{3}$ ，求点 $H$ 到平面 $γ$ 距离的最大值；
③若 $λ = 0, t = - \frac{19}{4}, G (0, \sqrt{3} - 1, 4)$ ，当直线 $G P$ 与平面 $γ$ 所成的角最小时，求 $\cos θ$ 的值.

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15、已知函数 $f (x) = e (t^{\frac{1}{x}} - 1) ln t + e x (1 + ln x)$ .

(1)、当 $t = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $t = e$ 时，求 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最小值；

(3)、当 $t \geq 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0, - 2), B (\frac{3}{2}, \sqrt{3}), P$ 为椭圆 $C$ 的左顶点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设 $M (m, n) (m > 0, n > 0)$ 为椭圆 $C$ 上的点，线段 $M P$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，线段 $M A$ 交 $x$ 轴于点 $T$ ，且 $|M P| |M A| = 6 |M N| |M T|$ ，求 $|O M|$ .

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17、某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.

(1)、根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
每周的锻炼时间
短跑成绩
合计
短跑成绩合格
短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计

(2)、正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{3}{4}$ .用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率.
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
6.635
7.879
10.828

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a cos B + b cos A = 5 c cos B$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $a = 5, b = 7, \vec{B D} = \frac{1}{5} \vec{B C}, \vec{A E} = \frac{1}{5} \vec{E B}$ ，求 $D E$ 的长.

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19、如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有种不同的涂色方案．

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20、已知复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的一个根，则 $|z| =$ .

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性别	日均刷“抖音”时间超过2小时	日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性	48	72
女性	24	56

年份t	2019	2020	2021	2022	2023
年份代码 $x (x = t - 2018)$	1	2	3	4	5
销量y（万辆）	11	13	18	21	27

$X$	$- 1$	0	$a$
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2} + a$	$\frac{1}{4} - b$

每周的锻炼时间	短跑成绩		合计
每周的锻炼时间	短跑成绩合格	短跑成绩不合格	合计
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	6.635	7.879	10.828