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相关试卷

1、为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设 $X$ 为打卡完某一类所有景点需要的天数，则 $X = 3$ 的概率为， $X$ 的期望 $E (X) =$ .

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2、写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；②任意 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) \geq 0$ ；③ $f^{'} (x)$ 是偶函数.

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上.若 $| M F | = 2$ ，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离为.

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4、若直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相交于不同两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，曲线 $y = e^{x}$ 在A，B点处的切线交于点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，设AP的斜率为 $k_{1}, B P$ 的斜率为 $k_{2}$ ，则（）

A、 $b = 0$ 时， $k > e$ B、 $2 x_{0} = x_{1} + x_{2}$ C、 $0 < y_{0} < e^{x_{0}}$ D、 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} > \frac{2}{k}$

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5、某数学建模活动小组为了测量山脚下 $A, B$ 两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中 $C D$ 与水平面 $A B C$ 垂直.在已知山高 $C D$ 的情况下，在山顶 $D$ 处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定 $A, B$ 两点间距离的是（）

A、 $∠ A D C, ∠ B D C, ∠ A D B$ B、 $∠ A D C, ∠ A D B, ∠ A C B$ C、 $∠ B D C, ∠ A D B, ∠ A C B$ D、 $∠ A D C, ∠ B D C, ∠ A C B$

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6、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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7、已知 $f (x) = x^{2} + (x - m) \ln x$ ，若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $m =$ （）

A、0 B、1 C、e D、3

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8、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}, O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆上一点， $| O P | = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ，且 $|P F_{1}|, |F_{1} F_{2}|, |P F_{2}|$ 成等比数列，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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10、已知对于任意的 $x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ ，都有 $\tan x = \frac{\sin 2 x}{a + \cos 2 x}$ 成立，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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11、设 $α, β$ 为两个不同平面， $l$ 为一条直线，则 $α / / β$ 的充分条件可以是（）

A、 $l / / α, l / / β$ B、 $l ⊥ α, l ⊥ β$ C、 $l \subset α, l / / β$ D、 $l ⊥ α, l / / β$

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12、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 24$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、64 B、56 C、38 D、8

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13、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}, B = \{x | \frac{x}{2} \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${2}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${1, 2}$

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14、复数 ${(2 - i)}^{2}$ 的实部为（）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 和 $g (x) = b \sin x$ 的定义域均为 $[0, + \infty)$ ，其中 $a, b \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值.

(2)、若 $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ .
（i）当 $a = 0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > \frac{e^{2}}{2}$ .

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上， $A, B$ 为 $C$ 的左、右顶点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(4, 0)$ 作直线与椭圆 $C$ 交于两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ （ $M$ 在第一象限），直线 $A M, B N$ 分别交 $y$ 轴于 $P, Q$ 两点.
（i）试探究：是否存在常数 $λ$ 使得 $\vec{O Q} = λ \vec{O P}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当 $△ P Q M$ 面积取最大值时，求 $x_{1}$ 的值.

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17、某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）.
第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金.

(1)、求游戏Ⅰ第2局获胜的概率；

(2)、若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)、从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c = 2 b \sin A$ .

(1)、若 $\tan A = 2$ ，求 $\tan B$ 的值；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a b}$ 的最大值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = \{\begin{cases} 13 - n, n < 2 m 且 n 为奇数, \\ 32 \times {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2}}, n \leq 2 m 且 n 为偶数 \\ a_{n - 2 m}, n > 2 m, \end{cases}$ $(m ≥3, m, n \in N^{*})$ .设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，当 $a_{20} = 2$ 时， $m =$ ；若存在n，使得 $S_{n} < 0$ ，则m的最小值为.

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20、已知 $a > 0$ ，二项式 ${(x + \frac{a}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为.

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