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相关试卷

1、已知动圆 $C_{1} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = r_{1}^{2} (r_{1} > 0)$ 与动圆 $C_{2} ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r_{2}^{2} (r_{2} > 0)$ ，满足 $|r_{1} - r_{2}| = 2 \sqrt{3}$ ，记 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A， $B ($ 点A在点B的左侧 $) .$

(1)、求曲线T的方程；

(2)、若直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 相切，且与曲线T交于 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 两点 $($ 点 $P_{1}$ 在y轴左侧，点 $P_{2}$ 在y轴右侧 $) .$
（ⅰ）若直线l与直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 和 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 分别交于 $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 两点，证明： $|P_{1} Q_{1} |=| P_{2} Q_{2}|$ ；
（ⅱ）记直线 $A P_{1}$ ， $B P_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 是定值.

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2、已知函数 $f (x) = (2 x + 1) e^{x}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - k x$ 在 $(- \infty, 0)$ 上恰有两个零点，求 $k$ 的取值范围.

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3、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 为等边三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 2 A B = 4$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点， $M$ 为线段 $B C$ 上一点， $\sin ∠ C A M = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、证明： $M E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P M = \sqrt{13}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $A M E$ 所成角的正弦值.

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4、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{1}$ ， $2 a_{5} = b_{3} + 2$ ， $a_{4} = b_{2}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{\log_{2} b_{n}^{2} + 1}{a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，并求证： $\frac{3}{4} \leq S_{n} < 1$ ．

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5、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，平面 $A_{1} B D$ 截正方体内切球所得的截面面积为．

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6、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 2$ 在 $[- 2, 0]$ 上的最小值为．

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7、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ ，均满足 $f (x - y) - f (x + y) = f (x - 1) f (y - 1)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则（）

A、函数 $g (x) = x f (x)$ 为偶函数 B、8是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2025, 0)$ 对称 D、 $\sum_{i = 0}^{2025} f (i) = 2$

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8、已知曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| - 2 |y|$ ，则以下说法正确的是（）

A、点 $(1, - 1)$ 在曲线内部 B、曲线关于原点对称 C、曲线与坐标轴围成的面积为 $2 π - 4$ D、曲线的周长是 $\sqrt{2} π$

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9、某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在 $[90, 100)$ 内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（）
分组
频数
频率
$[75, 80)$
2
0.050
$[80, 85)$
13
0.325
$[85, 90)$
18
0.450
$[90, 95)$
a
m
$[95, 100)$
b
0.075
女志愿者考核成绩频率分布表

A、被抽取的男女志愿者人数均为40 B、 $a = 4$ ， $b = 3$ ， $m = 0.100$ C、样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7 D、样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + x \sin x + \cos x$ ，若 $a = f (\log_{\frac{1}{2}} e)$ ， $b = f (\sin 1)$ ， $c = f (\frac{3}{2})$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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11、 $2025$ 年春节档共有 $7$ 部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探 $1900$ 》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（）

A、 $7$ 种 B、 $9$ 种 C、10种 D、 $12$ 种

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12、中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为 $\frac{2}{3} π$ ，上板长为 $16 cm .$ 若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（）

A、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3} cm$ B、 $10 \sqrt{2} cm$ C、 $10 \sqrt{3} cm$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{3} cm$

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 边上的点， $\vec{B C} = 4 \vec{E C}$ ，点 $F$ 是线段 $D E$ 的中点，若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $μ =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、1 C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、若复数 $z$ 满足 $1 + i z = i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、i

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15、甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是 $\frac{3}{4}$ ，其余4对双打获胜的概率均是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率；

(2)、求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率.

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16、6位同学报名参加2022年杭州里运会4个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．

(1)、6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种?

(2)、若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?

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17、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点为 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 函数 $f (x)$ 的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数 $g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 2$ ，利用上述探究结果计算： $g (\frac{1}{2025}) + g (\frac{2}{2025}) + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + g (\frac{4048}{2025}) + g (\frac{4049}{2025}) =$ ；

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18、某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，答对每道不会的题的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为．

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19、如图所示，积木拼盘由 $A, B, C, D, E$ 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如： $A$ 与 $B$ 为相邻区域， $A$ 与 $D$ 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是.

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20、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + k x$ （其中 $k \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，设 $a = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ， $b = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，则（）

A、对于任意不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $a > 0$ B、对于任意的 $k$ 及任意不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $b > 0$ C、对于任意的 $k$ ，一定存在不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $\frac{b}{a} = 2$ D、若存在不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $\frac{b}{a} = - 2$ ，则 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 4)$

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分组	频数	频率
$[75, 80)$	2	0.050
$[80, 85)$	13	0.325
$[85, 90)$	18	0.450
$[90, 95)$	a	m
$[95, 100)$	b	0.075