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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 中点， $M$ 为棱 $B C$ 上的动点（不包括端点 $B, C$ ），则（）

A、直线 $A N$ 与直线 $B C_{1}$ 相交 B、存在点 $M$ ，使得 $A_{1} N ⊥ A M$ C、当 $A M + M N$ 取最小值时，点 $M$ 为 $B C$ 中点 D、过 $A, M, N$ 三点的截面为五边形

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x (a + x)$ ，则下列选项正确的是（）

A、图象过定点 $(0, 0)$ B、值域为 $R$ C、在定义域上单调 D、函数一定存在单调增区间

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3、下列各式一定成立的是（）

A、 $\sqrt{{(3 - π)}^{2}} = 3 - π$ B、 ${log}_{3} 9 = 2$ C、 $a \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}} (a \neq 0)$ D、 ${log}_{a} (M N) = {log}_{a} M + {log}_{a} N (a > 0, a \neq 1)$

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4、定义分段函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin (π x) + a, 0 \leq x \leq 2 \\ e^{x - 2} - b (x - 2), x > 2 \end{array}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为实数．已知函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 内恰好有 $3$ 个零点，则满足条件的 $(a, b)$ 组合可能是（）

A、 $(1, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(3, 3)$

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5、已知正 $n$ 边形的边长为 $a$ ，内切圆的半径为 $r$ ，外接圆的半径为 $R$ ，则 $R - r$ 的值为（）

A、 $\frac{a}{2} tan \frac{π}{2 n}$ B、 $\frac{a}{2 tan \frac{π}{2 n}}$ C、 $\frac{a (1 - cos \frac{π}{n})}{sin \frac{π}{n}}$ D、 $\frac{a sin \frac{π}{n}}{(1 + cos \frac{π}{n})}$

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6、某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨 $15 %$ 或下跌 $20 %$ （两种情况概率各 $50 %$ ）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略：
策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件；
策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为 $2 \times 100 \times 0.95 = 190$ 元）．
不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（）

A、策略P B、策略Q C、平均总成本相同 D、需根据价格波动幅度判断

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}, A C = 3, ∠ B A C = 45 °, \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $cos ∠ A D E =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8、若关于 $x$ 的不等式 $x - \frac{a}{x} < 0 (a \in R)$ 在区间 $(1, 2)$ 上恒成立，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、4

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9、已知函数 $y = f (x)$ ，与其相应的 $y = f (x + 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = - 1$ C、 $f (99) = 0$ D、 $f (100) = 1$

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10、已知随机事件 $A, B$ 是互斥事件，且 $P (A) = 0.3, P (B) = 0.5$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $P (\bar{A}) = 0.7$ B、 $P (A \cup B) = 0.8$ C、 $P (A \cap B) = 0$ D、 $P (\bar{A \cup B}) = 0$

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11、已知平面 $α$ 与直线 $l$ ，则“ $l // α$ ”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 无公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、下列直线为函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{2})$ 的对称轴是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = \frac{π}{2}$ D、 $x = - \frac{π}{2}$

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13、已知 $\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、任何实数

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14、函数 $f (x) = \sqrt{x^{3}} + 1$ 的定义域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $R$

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15、已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A $\cap$ B=（）

A、{2} B、{1，2，3} C、{1，3} D、{2，3}

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16、某玩具公司推出一款智能机器狗玩具，开启电源后机器狗从起点处每次向前或向后跳动1个单位，当机器狗位置距离起点处不足 $k$ （ $k \in N$ ，且 $k \geq 3$ ， $k$ 可以进行手动设置）个单位时，每次向前跳动的概率为 $\frac{2}{3}$ ，向后跳动的概率为 $\frac{1}{3}$ ，当机器狗跳动后的位置距离起点处为 $k$ 个单位时，则连续向起点处跳动 $k$ 次，回到起点，然后从起点处重新开始跳动．

(1)、若设置 $k = 3$ ，求机器狗跳动6次后恰好回到起点的概率；

(2)、若设置 $k = 6$ ，记机器狗跳动5次后距离起点处 $X$ 个单位，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(3)、若机器狗跳动了 $k + 2$ 次，求每次跳动后距离起点处都不足 $k$ 个单位的概率．

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17、随着网络App的普及与发展，刷“抖音”成为了人们日常生活的一部分.某地区随机抽取了部分20～40岁的“抖音”用户，调查他们日均刷“抖音”的时间情况，所得数据统计如下表：
性别
日均刷“抖音”时间超过2小时
日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性
48
72
女性
24
56

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为日均刷“抖音”时间的长短与性别有关？

(2)、现从被调查的日均刷“抖音”时间超过2小时的用户中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取3名用户参加抖音知识问答，已知男性用户、女性用户顺利完成知识问答的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{4}{5}$ ，每个人是否顺利完成知识问答相互独立，求在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人性别不同的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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18、传统燃油汽车与新能源汽车相比，有着明显的缺点：如传统燃油汽车在行驶过程中会产生尾气排放和噪音污染，环保性能较差、能源效力较低等我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表．
年份t
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码 $x (x = t - 2018)$
1
2
3
4
5
销量y（万辆）
11
13
18
21
27

(1)、统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性同归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

(2)、该企业随机调查了该地区2023年的购车情况．据调查，该地区2023年购置新能源汽车与传统燃油汽车的人数的比例大约为 $1 : 3$ ．从被调查的2023年所有车主中按分层抽样抽取12人，再从12人中随机抽取3人，记这3人中购置新能源汽车的人数为X，求X的分布列和期望．
参考公式：
对于一组数据 $(x_{n}, y_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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19、甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作X，则 $E (X)$ =.

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20、如图，某停车区域共有6个停车位，现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X，则X的数学期望为.

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性别	日均刷“抖音”时间超过2小时	日均刷“抖音”时间不超过2小时
男性	48	72
女性	24	56

年份t	2019	2020	2021	2022	2023
年份代码 $x (x = t - 2018)$	1	2	3	4	5
销量y（万辆）	11	13	18	21	27

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828