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相关试卷

1、某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东 $θ$ 角（ $θ$ 为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心 $75 \sqrt{3}$ km以内会受其影响.

(1)、若此人刚好不被台风影响，求 $\tan θ$ 的最大值；

(2)、若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？

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2、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中的一个椭圆，中心为原点，左焦点 $F (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求该椭圆的标准方程；

(2)、已知点 $A (1, 1)$ ，若P是椭圆上的动点，求线段 $P A$ 中点M的轨迹方程.

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3、已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为3，M是空间中一点， $\vec{P M} = - \frac{2}{9} \vec{P A} + \frac{1}{9} \vec{P B} + \frac{4}{9} \vec{P C}$ ，则三棱锥 $B - M A C$ 的体积是.

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4、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 2$ 截得的弦长为.

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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6、已知圆C： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $l$ ： $(m + 2) x + 4 y - 2 + m = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 1)$ B、直线 $l$ 与圆C有两个交点 C、当 $m = 1$ 时，圆C上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1 D、圆C与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 8 = 0$ 恰有三条公切线

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7、已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1} (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点P为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $e_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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8、直线 $l$ ： $m x - y - 2 m + 1 = 0$ ，与圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ 相交弦中最短的弦长为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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9、已知圆的方程为： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(2, - 4)$ D、 $(1, - 2)$

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10、在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{B B_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A_{1} C}$ B、 $\vec{A_{1} B}$ C、 $\vec{A B_{1}}$ D、 $\vec{A C_{1}}$

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11、直线 $y = x + \sqrt{3}$ 的斜率是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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12、“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为 $300$ 平方米，共 $600$ 平方米．

(1)、若矩形草坪的长比宽至少多 $5$ 米，求草坪宽的最大值；

(2)、若草坪四周的花坛宽度均为 $2$ 米，求整个绿化面积的最小值．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、根据定义证明： $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增.

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14、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - x$ ，则 $f (2) =$ .

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15、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，且 $f (x) = x^{3} f (\frac{1}{x})$ $（ x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty) ）$ ， $f (x) + f (y) + x y = f (x + y)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (3) = 3$ C、 $f (x) - f (- x) = x$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{2}$

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16、下列命题正确的有（）

A、 $x > 2$ 是 $(x - 2) (x - 1) > 0$ 的充分不必要条件 B、 $\exists x \in R, x^{2} + 1 = 0$ C、 $\forall x \in R, 4 x^{2} > 2 x - 1 + 3 x^{2}$ D、对于任意两个集合 $A, B$ ，关系 $(A \cap B) \subseteq (A \cup B)$ 恒成立

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17、若对任意 $x, y ∈ R$ ，有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，则函数 $g (x) = \frac{2 x}{x^{2} +1} + f (x) +3$ 在 $[−2019,2019]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 的和 $M + m =$ （）

A、 $−6$ B、6 C、 $−3$ D、5

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 + x)$ ．则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x (1 + x)$ B、 $f (x) = x (x - 1)$ C、 $f (x) = - x (x + 1)$ D、 $f (x) = x (1 - x)$

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19、若函数 $f (x) = x^{2} - 4 x$ 在 $x \in (0, 1]$ 上，则有（）

A、最小值为 $- 3$ B、最大值0 C、最小值为 $- 4$ D、最大值 $- 3$

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20、已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x - 1} < 0} ，$ 集合 $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 3)$ B、 $[1, 3]$ C、 $\{1, 2\}$ D、 ${2, 3}$

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