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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ ， $B = \{x | a x - 2 = 0\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a =$ （）．

A、0或1或2 B、1或2 C、0或1 D、1

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2、如图双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A, B$ 且 $|A B| = 2$ ，已知双曲线的离心率为2．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、直线 $l$ 与双曲线交于 $P, Q$ 两点且以线段 $P Q$ 为直径的圆恰好经过点 $A$ ．
①证明：直线 $P Q$ 过 $x$ 轴上一定点 $M$ ，请求出点 $M$ 的坐标；
②若 $P, Q$ 都在双曲线的右支，求 $△ A P Q$ 的面积的最小值．

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3、已知函数 $f (x) = - \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = x ln x - \frac{a}{2} x^{2} - x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的单调性相同，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若当 $a \in [0, \frac{1}{e})$ 时， $g (x) (x \in (0, e])$ 有最小值 $h (a)$ ，证明： $- \frac{e}{2} < h (a) \leq - 1$ .

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4、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ .

(1)、证明： $O A ⊥ B C$ ；

(2)、当 $A O = 1$ 时，求点 $E$ 到直线 $B C$ 的距离.

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5、已知实数 $a, b, c \in (0, 1)$ ，设 $\frac{3}{a} + \frac{1}{1 - b}$ ， $\frac{3}{b} + \frac{1}{1 - c}$ ， $\frac{3}{c} + \frac{1}{1 - a}$ 这三个数的最大值为 $M$ ，则 $M$ 的最小值为.

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、曲线C： $f (x) = e^{x} + \sin x + 1$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 3)$ 内的值域为 $(- 3, 1)$ B、函数 $g (x) = f (x) + \frac{2 - x}{x - 1}$ 的图象为中心对称图形 C、过点 $P (2, - 4)$ 且与 $f (x)$ 图象相切的直线共有三条 D、 $f (x)$ 有三个零点

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9、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、当 $x = - \frac{π}{12}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[π, \frac{5 π}{4}]$ 上单调递增

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10、在下列四个命题中，正确的是（）

A、命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 C、已知集合 $A = \{m + 2, 2 m^{2} + m\}$ ，若 $3 \in A$ ，则m的值为 $- \frac{3}{2}$ D、“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > 1$ ”的必要不充分条件

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11、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域为 $R$ ， $F (x) = e^{x + 1} f (x + 1)$ 是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且 $(x - 1) [f (x) + f^{'} (x)] > 0$ ，则不等式 $x f (\ln x) < e^{3} f (3)$ 的解集为（）

A、 $(0, e^{3})$ B、 $(\frac{1}{e}, e^{3})$ C、 $(1, e^{3})$ D、 $(e, e^{3})$

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12、已知 $\sin α - \cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{1}{\tan α} + \tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $A = 135 °$ ，则 $\frac{b + c}{\sin B + \sin C}$ 的值为（）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、在复平面内，复数 ${(\frac{2 - i}{i})}^{2}$ 对应的点位于（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、集合 $A = {x |x < 1}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x |0 < x < 1}$ B、 ${x |- 1 < x < 0}$ C、 ${x |- 1 < x < 2}$ D、 ${x |0 < x < 2}$

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16、定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，三个内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin C = \frac{2 S}{c^{2} - b^{2}}$ .

(1)、证明： $△ A B C$ 是倍角三角形；

(2)、若 $c = 9$ ，当 $S$ 取最大值时，求 $tan B$ .

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17、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是线段 $O D$ 的中点， $A E$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $F$ ，若 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，且 $\vec{A F} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、设 $A (1, \sqrt{3})$ ， $B (4, 0)$ ， $D (1, - \sqrt{3})$ ，圆Q过A，B，D三个点.

(1)、求圆Q的方程；

(2)、设点 $C (- 3, \sqrt{3})$ ，若圆Q上存在两个不同的点P，使得 $P A^{2} + P C^{2} = 2 λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，证明：直线l恒过定点.

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $P D = A B = 2 A D = \frac{1}{2} C D = 2$ ，且PD，AD，BD两两垂直， $\vec{P M} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $M B D$ 的距离；

(3)、求平面 $P B C$ 与平面 $M B D$ 夹角的余弦值．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(0, - 2)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $P (0, 2)$ ，若 $S_{△ O A B}$ $+ S_{△ P A B} = 3 \sqrt{2}$ ，求 $|A B|$ ．

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