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相关试卷

1、若 $2 α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), tan α = \frac{cos α}{3 - sin α}$ ，则 $sin (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{6} + 7}{18}$ B、 $\frac{4 \sqrt{6} - 7}{18}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2} + 7 \sqrt{3}}{18}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} - 7 \sqrt{3}}{18}$

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2、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上､下底面半径之比为 $3 : 4$ ，若圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上､下底面圆周都在半径为5的球 $O$ （球心 $O$ 在圆台内部）的表面上，且圆台的高为7，则圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积为（）

A、 $\frac{259 π}{3}$ B、 $86 π$ C、 $\frac{133 π}{3}$ D、 $\frac{1036 π}{3}$

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3、已知离心率为 $\frac{1}{2}$ 的椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，点 $P$ 在 $E$ 上， ${|P F_{1}|}^{2} + {|P F_{2}|}^{2}$ 的最小值为8，则椭圆 $E$ 的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{2 y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$

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4、统计学中算术平均数､几何平均数､调和平均数､加权平均数是数据分析中的重要工具.已知正数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 的调和平均数 $H_{n} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}}$ ，则数据 $1, 2, 4, 4, 6, 8$ 的调和平均数 $H_{6} =$ （）

A、 $\frac{55}{4}$ B、 $\frac{144}{55}$ C、 $\frac{25}{6}$ D、 $\frac{24}{55}$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 2, x)$ ，则“ $x = - 2$ ”是“ $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知复数 $z = 3 - 5 i$ ，则 $\bar{z} \cdot (- i)$ 的实部为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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7、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2\}$ ， $B = {x | x (x - 1) = 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 2\}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{|x + 1|} - 1, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{cases}$ .

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间（不需要说明理由）；

(2)、关于 $x$ 的方程 $|f (x)| = m$ 有四个根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，求 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (| f (x) |) = n (n \neq 1)$ 的所有根中有两个正根分别为 $a$ ， $b$ ，证明： $a + b > 2$ ．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R^{+}$ ，对任意的 $a, b \in R^{+}$ ，都有 $f (a) + f (b) = f (a b)$ ．当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、求 $f (1)$ 的值，并证明：当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、对于任意的 $x \in [2, 3]$ ，不等式 $f (4^{x} - 5) \geq f (m \cdot 2^{x})$ 恒成立，试求常数 $m$ 的取值范围．

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10、已知角 $α$ 顶点为原点且始边在 $x$ 轴非负半轴，终边上有一点 $P (x, y)$ 且点 $P$ 不与坐标原点 $O$ 重合.

(1)、若点 $P$ 坐标是 $(m, \sqrt{3})$ 且 $\cos α = \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若角 $α$ 满足 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{5}, α \in (0, π)$
①求 $\sin α - \cos α$ 的值；
②求 $\frac{3 \sin α \cos α}{\sin^{2} α - 2 \cos^{2} α}$ 的值.

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a - 3) x + 2 a, x < 1 \\ a x^{2} + (a + 1) x, x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12、若扇形的圆心角是 $108^{°}$ ，弧长为 $3 π$ ，则扇形的半径为.

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13、已知函数 $f (x) = lg (m x^{2} - m x + 3)$ ，则下列选项正确的有（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 3)$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$ B、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则 $m \in (0, 12)$ C、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则 $m \in [12, + \infty)$ D、若 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 上单调递增，则 $m \in (0, 12]$

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14、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = x - [x], x \in R$ ，则对函数 $f (x)$ 描述正确的是

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 不是周期函数

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15、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{x^{2} + 2}{x}, 3 < x \leq 4 \end{array}$ ， $g (x) = a x + 1$ ，若任给 $x_{1} \in [2, 4]$ ，存在 $x_{2} \in [- 2, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{7}{2}] \cup [\frac{7}{4}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{7}{4}] \cup [\frac{7}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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16、已知函数 $f (x) = x^{2} + \ln (x + 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = e^{x} - \cos x$ ，证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ；

(3)、若 ${(e}^{x} + a \cos x) f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的值．

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17、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上，下顶点分别为 $A, B$ ，且短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设直线 $y = - 2$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，点 $M$ 为椭圆 $E$ 上不同于顶点的一点，且直线 $B M$ 与直线 $y = - 2$ 交于点 $P$ ， AM与直线 $y = - 2$ 交于点 $N$ ，判断是否存在点 $M$ ，使得 $∠ P A N = ∠ Q M N$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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18、某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）

车型	低收入群体（收入<20万元/年）		中收入群体（收入20万元-50万元/年）		高收入群体（收入>50万元/年）
	愿意	不愿意	愿意	不愿意	愿意	不愿意
EV	50	20	40	40	30	20
PHEV	25	45	40	40	35	15

假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.

(1)、在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p；

(2)、从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)、若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为

p_{A}

，试比较p和

p_{A}

的大小.

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19、在 $△ A B C$ 中， $b \sin A = a \sin (\frac{π}{3} - B)$ .

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{3}$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $△ A B C$ 的周长为 $8+4 \sqrt{3}$ ；
条件②： $\cos A = \frac{4}{5}$ ；
条件③： $b = 6$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 $0$ 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = A D = 4$ ， E是 $P C$ 的中点，平面 $A B E$ 与线段 $P D$ 交于点F.

(1)、求证： $A B // F E$ ；

(2)、若 $C F = 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值.

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