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相关试卷

1、已知空间中四条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ ， $l_{4}$ 满足： $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{3} ⊥ l_{1}$ ， $l_{3} ⊥ l_{2}$ ， $l_{4} ⊥ l_{1}$ ， $l_{4} ⊥ l_{2}$ ，则直线 $l_{3}$ 与 $l_{4}$ 位置关系为（）

A、垂直 B、平行 C、相交 D、异面

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2、已知事件A与B相互独立，且 $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.8$ ，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、0.8 B、0.5 C、0.56 D、0.94

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3、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 的平均数为5，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $\dots$ ， $y_{8}$ 的平均数为6，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{8}$ 的平均数为（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、5 C、6 D、 $\frac{49}{9}$

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4、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(7, 2)$ D、 $(7, - 2)$

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5、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{25}$ D、 $\frac{19}{25}$

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6、已知函数 $f (x) = a \sin ω x \cos ω x (a > 0, ω > 0)$ ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 \cos^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递增区间．
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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7、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点且 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为.

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8、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2026} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ .

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ ， $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $\frac{b}{c} =$ ， $\cos A$ 的值为．

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10、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x - 1}, x < 1 \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，则使得 $f (x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

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11、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 sin (x + \frac{π}{4}) cos (x + \frac{π}{4}) (x \in R)$ ，现给出下列四个命题，
①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$
②函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$
③函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增
④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sqrt{3} cos 2 x$
其中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②④ C、①④ D、③④

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12、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{3})$ B、 $[0, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{2 π}{3}, π)$

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13、设 $i$ 为虚数单位，则在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x + 2 a - 1$ ， $g (x) = x + \frac{4}{x}$ ，若对于任意 $x_{2} \in [1, 3]$ ，都存在 $x_{1} \in [- 3, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 6, \frac{7}{2}]$ B、 $[- 6, 3]$ C、 $[- 3, \frac{3}{2}]$ D、 $[- 3, 3]$

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15、已知圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} +$ ${(y - 2 a)}^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 a y + a^{2} + 12 = 0, a \in R$ ．则下列选项正确的是（）

A、直线 $C_{1} C_{2}$ 恒过定点 $(3, 0)$ B、当圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 有三条公切线时，若P，Q分别是圆 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $| P Q |_{max} = 10$ C、若圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 共有2条公切线，则 $a < \frac{4}{3}$ D、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交弦的弦长为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$

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16、已知直线 $l : (m + 2) x + (m - 1) y + m - 1 = 0$ ，若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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17、已知直线 $l_{1} : 2 x + m y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : (m - 1) x + 3 y + 2 = 0$ ，则“ $m + 2 = 0$ ”是“ $l_{1} / / l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1, 3) ， \vec{b} = (- 1, 1, x)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （）.

A、 $2$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $\sqrt{26}$

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19、已知集合 $A = \{x |\sqrt{x - 2025} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} + 2 x + a = 0\}$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素的和的可能值组成的集合为.

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20、强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表：
$x$
6
8
9
$t$
12
$y$
2
3
4
5
6

(1)、若学科知识整合能力指标的平均值 $\bar{x} = 9$ ，
（ⅰ）求t的值；
（ii）求y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标；

(2)、现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立；
甲高校：每门科目通过的概率均为 $\frac{2}{5}$ ，通过科目数记为随机变量X；
乙高校：第一门科目通过概率为 $m (0 < m < 1)$ ，第二门科目通过概率为 $\frac{1}{4}$ ，第三门科目通过概率为 $\frac{2}{3}$ ，通过科目数记为随机变量Y；
若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校.
（附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b}$ 和 $\hat{a}$ 的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ）

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$x$	6	8	9	$t$	12
$y$	2	3	4	5	6