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相关试卷

1、随机变量 $ξ \sim N (4, 2)$ ，若 $P (ξ > 2 a - 1) = P (ξ < a)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、4

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2、以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：56、70、72、78、79、80、81、83、84、85、88、90、91、94、98，则这15人成绩的第60百分位数是．

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) // \vec{a}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 12$ B、 $- 4$ C、4 D、12

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4、如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形， $P A$ 是四棱锥 $P - A B C D$ 的高，且 $P A = 3, E$ 是 $P A$ 的中点；

(1)、求证 $P C ∥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 和三棱锥 $C - B D E$ 的体积．

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5、在△ $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c ， c = 2 b, \sqrt{2} \sin A = 3 \sin B$ ．

(1)、求 $\sin C$ ；

(2)、若△ $A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ，求 $A B$ 边上的中线 $C D$ 的长．

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6、已知复数 $z = (2 m^{2} - 3 m - 2) + (m^{2} - 3 m + 2) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ .

(1)、若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = x$ 上，求 $m$ 的值.

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7、若复数 $z = 1 + 2 i + 3 i^{2} + 4 i^{3} + 5 i^{4}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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8、下列关于平面向量的说法中不正确的是（）

A、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则 $A B C D$ 为平行四边形 C、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若点G为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

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9、刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 $n$ 边形等分成 $n$ 个等腰三角形(如图所示)，当 $n$ 变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到 $\sin 1 °$ 的近似值为（）

A、 $\frac{π}{90}$ B、 $\frac{π}{180}$ C、 $\frac{π}{270}$ D、 $\frac{π}{60}$

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10、若圆台的上底面面积与下底面面积分别为 $5 π, 20 π$ ，且圆台的体积为 $\frac{70}{3} π$ ，则该圆台的母线长为（）

A、6 B、 $\sqrt{42}$ C、3 D、 $\sqrt{21}$

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11、如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P_{1} (2, 2)$ ，其渐近线的方程为 $y = \pm 2 x$ ．按照如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ；过右支上点 $P_{n - 1}$ 作斜率为1的直线与C的左支交于点 $Q_{n - 1}$ ，过 $Q_{n - 1}$ 再作斜率为 $- 1$ 的直线与C的右支交于点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、用 $x_{n}, y_{n}$ 表示点 $Q_{n - 1}$ 的坐标；

(3)、求证：数列 $\{2 x_{n} - y_{n}\}$ 是等比数列．

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，且 $S = a^{2} sin 2 B$ ．

(1)、证明： $tan B = 3 tan A$ ；

(2)、若 $A = 45^{\circ}$ ， $B C$ 边上的高为 $6$ ，求 $b$ ．

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14、已知 $α$ 是第三象限角， $\cos (α + \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1 - \tan \frac{α}{2}}{1 + \tan \frac{α}{2}} =$ .

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15、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、圆C的半径为2 B、满足 $|O M| = 5.5$ 的点M有1个 C、 $x_{0} + 2 y_{0}$ 的最大值为 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、若点P在x轴上，则满足 $|O M| = 2 |P M|$ 的点P有两个

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16、下列选项正确的是（）

A、设 $X$ 是随机变量，若 $X \sim N (3, 2)$ ，则 $E (X) = 3$ B、已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6 C、二项式 ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中的常数项为 $- 8$ D、设 $X$ 是随机变量，若 $X \sim B (9, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X + 5) = 6$

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17、已知定义在 $R$ 上的函数 $g (x) = e^{x} - e^{- x} + f (x)$ ，其中 $g (x)$ 是奇函数且在 $R$ 上单调递减， $f ({log}_{2} x) + f (2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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18、若 $P$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上异于 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ 的动点，且直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为5，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{5} x$ D、 $y = \pm 5 x$

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19、若复数 $z = \frac{i + a}{1 + i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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20、现将 $n$ 个编号 $1 ~ n$ 的小球随机地放入 $n$ 个外观、大小一样的编号也为 $1 ~ n$ 的盒子中，每个盒子中有且仅有一个小球．

(1)、 $n = 4$ 时，记小球编号与盒子编号相同的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若 $3$ 号盒子中球的编号为 $6$ ， $6$ 号盒子中球的编号为 $5$ ， $5$ 号盒子中球的编号为 $3$ ，我们称编号 $3$ ， $5$ ， $6$ 的小球处于一个闭环中．如编号 $1 ~ 6$ 的盒子中放入的小球编号依次是 $1$ ， $4$ ， $6$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ，则共有 $3$ 个闭环，其中编号 $1$ 的小球是一个闭环．据此，当 $n = 6$ 时，回答下面两个问题：
①求恰有3个闭环的概率；
②某幼儿园组织 $6$ 名编号 $1 ~ 6$ 的小朋友玩游戏，每个小朋友选择 $3$ 个盒子打开，若这 $3$ 个盒子中有小球编号与自己编号一致，则认为游戏成功．每个小朋友在游戏过程中不能商量，且小朋友完成游戏后，由工作人员将盒子恢复原样，下一个小朋友再开始游戏．如果你是带队老师，在游戏开始前，帮小朋友们制定一个策略，使得所有小朋友都成功的概率大于 $\frac{1}{3}$ ，并证明．

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