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相关试卷

1、如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P_{1} (2, 2)$ ，其渐近线的方程为 $y = \pm 2 x$ ．按照如下方式依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, \dots)$ ；过右支上点 $P_{n - 1}$ 作斜率为1的直线与C的左支交于点 $Q_{n - 1}$ ，过 $Q_{n - 1}$ 再作斜率为 $- 1$ 的直线与C的右支交于点 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、用 $x_{n}, y_{n}$ 表示点 $Q_{n - 1}$ 的坐标；

(3)、求证：数列 $\{2 x_{n} - y_{n}\}$ 是等比数列．

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，且 $S = a^{2} sin 2 B$ ．

(1)、证明： $tan B = 3 tan A$ ；

(2)、若 $A = 45^{\circ}$ ， $B C$ 边上的高为 $6$ ，求 $b$ ．

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4、已知 $α$ 是第三象限角， $\cos (α + \frac{π}{2}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{1 - \tan \frac{α}{2}}{1 + \tan \frac{α}{2}} =$ .

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5、已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、圆C的半径为2 B、满足 $|O M| = 5.5$ 的点M有1个 C、 $x_{0} + 2 y_{0}$ 的最大值为 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、若点P在x轴上，则满足 $|O M| = 2 |P M|$ 的点P有两个

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6、下列选项正确的是（）

A、设 $X$ 是随机变量，若 $X \sim N (3, 2)$ ，则 $E (X) = 3$ B、已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6 C、二项式 ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 展开式中的常数项为 $- 8$ D、设 $X$ 是随机变量，若 $X \sim B (9, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X + 5) = 6$

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $g (x) = e^{x} - e^{- x} + f (x)$ ，其中 $g (x)$ 是奇函数且在 $R$ 上单调递减， $f ({log}_{2} x) + f (2) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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8、若 $P$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上异于 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ 的动点，且直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率之积为5，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{5} x$ D、 $y = \pm 5 x$

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9、若复数 $z = \frac{i + a}{1 + i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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10、现将 $n$ 个编号 $1 ~ n$ 的小球随机地放入 $n$ 个外观、大小一样的编号也为 $1 ~ n$ 的盒子中，每个盒子中有且仅有一个小球．

(1)、 $n = 4$ 时，记小球编号与盒子编号相同的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、若 $3$ 号盒子中球的编号为 $6$ ， $6$ 号盒子中球的编号为 $5$ ， $5$ 号盒子中球的编号为 $3$ ，我们称编号 $3$ ， $5$ ， $6$ 的小球处于一个闭环中．如编号 $1 ~ 6$ 的盒子中放入的小球编号依次是 $1$ ， $4$ ， $6$ ， $2$ ， $3$ ， $5$ ，则共有 $3$ 个闭环，其中编号 $1$ 的小球是一个闭环．据此，当 $n = 6$ 时，回答下面两个问题：
①求恰有3个闭环的概率；
②某幼儿园组织 $6$ 名编号 $1 ~ 6$ 的小朋友玩游戏，每个小朋友选择 $3$ 个盒子打开，若这 $3$ 个盒子中有小球编号与自己编号一致，则认为游戏成功．每个小朋友在游戏过程中不能商量，且小朋友完成游戏后，由工作人员将盒子恢复原样，下一个小朋友再开始游戏．如果你是带队老师，在游戏开始前，帮小朋友们制定一个策略，使得所有小朋友都成功的概率大于 $\frac{1}{3}$ ，并证明．

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11、已知椭圆： $5 x^{2} + y^{2} = 5$ ， $A$ 为右顶点， $F$ 为下焦点，延长 $A F$ 交椭圆于另一点 $B$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、设椭圆在点 $B$ 处的切线为直线 $l$ ，求直线 $A B$ 与 $l$ 所夹锐角的正切值；

(3)、若直线 $n$ 与椭圆交于 $M$ ， $N$ 两点（异于 $A$ ），使得 $∠ F A M = ∠ F A N$ ，求证：直线 $n$ 过定点．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积和周长分别为 $S$ ， $L$ ，且 $\cos A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、若 $L = 3 a$ ， $b > c$ ，求 $B$ ；

(2)、若 $5 \cos C = 5 b - 3 c$ 且 $C \neq \frac{π}{2}$ ，求 $S$ 的最大值．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) \geq x^{2}$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 总成立，求实数a的取值范围．

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14、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $\vec{S P} = 3 \vec{P D}$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ S D$ ；

(2)、求异面直线 $S A$ 与 $C P$ 所成角的余弦值．

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15、已知向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $2 \vec{b}$ ，若 $|\vec{b}| = 1$ ，则向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 夹角余弦值的最小值为．

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16、已知9个数据的平均数为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这10个数据的方差为．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n - 1$ ，则 $S_{7} =$ ．

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18、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点（含边界），则下列说法正确的是（）

A、使三棱锥 $F - A D_{1} E$ 体积取得最大值的点 $F$ 唯一 B、存在点 $F$ ，使得直线 $C_{1} F$ 与 $C_{1} E$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ C、 $D_{1} E ⊥ A F$ 时，点 $F$ 的轨迹是线段 D、 $D_{1} E / /$ 平面 $A_{1} C_{1} F$ 时，点 $F$ 的轨迹长为 $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$

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19、已知 $f (x) = a x^{2} + 2 \ln x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a \geq 0$ 时， $f (x)$ 有唯一的零点 B、 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极小值 C、 $a < 0$ 时， $f (x)$ 存在极大值 D、若 $f (x) < 0$ ，则 $a$ 的范围为 $- \frac{1}{e} < a < 0$

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20、若 $6^{a} = 2$ ， $6^{b} = 3$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ C、 $a b < \frac{1}{4}$ D、 $a > \frac{1}{3}$

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