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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{12}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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2、若圆台的上底面面积与下底面面积分别为 $5 π, 20 π$ ，且圆台的体积为 $\frac{70}{3} π$ ，则该圆台的母线长为（）

A、6 B、 $\sqrt{42}$ C、3 D、 $\sqrt{21}$

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3、如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a \ln x (a \in R, a > 0)$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = \frac{x^{2} - 1 - \ln x}{x} - f (x)$ ，当实数 $a$ 取最大值时，是否存在整数 $t$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq t$ 恒成立，若存在，请求出 $t$ 的最大值，若不存在，请说明理由；

(3)、已知 $n \in N^{*}$ 证明： $\ln n + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n}) \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}$ ，且 $a_{n + 2} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{a_{n} + a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ．
（1）求证：数列 $\{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\}$ 为等差数列；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（3）求下表中前n行所有数的和 $S_{n}$ .
$\frac{a_{1} a_{1}}{a_{2}}$
$\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}} \frac{a_{2} a_{1}}{a_{3}}$
……………………………
$\frac{a_{1} a_{n}}{a_{n + 1}} \frac{a_{2} a_{n - 1}}{a_{n + 1}} \dots \dots \frac{a_{n} a_{1}}{a_{n + 1}}$

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6、已知等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{5} = \frac{1}{16}$ ， $b_{8} = \frac{1}{128}$ ．

(1)、求等比数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $a_{n} = {log}_{2} \frac{1}{b_{n}}$ ．
①求数列 $\{(a_{n} + 1) b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；
②令 $f (n) = S_{n} + \frac{1}{2^{n - 3}} (n \in N^{*})$ ，求 $f (n)$ 最小值．

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7、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ，若 $P A = A C$ ， E为 $P C$ 的中点，M，N分别是AE，AB的中点.

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、证明： $M N / /$ 平面 $P B C$ ；

(3)、若 $A C = B C$ ， $F$ 在线段 $B C$ 上，且 $C F = \frac{1}{4} B C$ ，求二面角 $C - A E - F$ 的平面角的余弦值.

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8、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} - (a + 2) e^{x} + x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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9、若曲线 $y = k x^{- 1} (k < 0)$ 与曲线 $y = \ln x$ 有三条公切线，则 $k$ 的取值范围是.

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10、在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为.

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11、在 ${(2 x + \frac{a}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中 $x^{- 1}$ 的系数为2560，则 $a =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 1 (a \neq 0)$ 在 $x = 1$ 处取到极大值1，则以下结论正确的是（）

A、 $3 a + 2 b + c = 0$ B、 $b = - 2 a$ C、 $a > 0$ D、 $f (x)$ 的极小值点为 $\frac{1}{3}$

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} + a_{3} = - 12$ ， $S_{11} = 11$ ，下列选项正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $2$ B、 $S_{n}$ 取最小值时， $n = 5$ C、 $S_{4} = S_{8}$ D、 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 构成等差数列，且公差为 $2 n^{2}$

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14、在探究 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示：
$\begin{matrix} 第 0 行 & 1 \\ 第 1 行 & 1 & 1 \\ 第 2 行 & 1 & 2 & 1 \\ 第 3 行 & 1 & 3 & 3 & 1 \\ 第 4 行 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 第 5 行 & 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \\ 第 6 行 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 第 0 行 & 0 \\ 第 1 行 & 0 & 1 \\ 第 2 行 & 0 & 2 & 2 \\ 第 3 行 & 0 & 3 & 6 & 3 \\ 第 4 行 & 0 & 4 & 12 & 12 & 4 \\ 第 5 行 & 0 & 5 & 20 & 30 & 20 & 5 \\ 第 6 行 & 0 & 6 & 30 & 60 & 60 & 30 & 6 \end{matrix}$
如图，杨辉三角第 $6$ 行的 $7$ 个数依次为 $C_{6}^{0}$ ， $C_{6}^{1}$ ， $C_{6}^{2}$ ， $\dots$ ， $C_{6}^{5}$ ， $C_{6}^{6}$ .现将杨辉三角中第 $n (n \geq 1, n \in N^{*})$ 行的第 $r (1 \leq r \leq n + 1, r \in N^{*} n \in N^{*})$ 个数乘以 $(r - 1)$ ，第 $0$ 行的一个数为 $0$ ，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第 $100$ 行的所有数的和为（）

A、 $99 \cdot 2^{100}$ B、 $100 \cdot 2^{100}$ C、 $100 \cdot 2^{99}$ D、 $99 \cdot 2^{99}$

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15、若函数 $y = f (x)$ 的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 与 $x = 1$ 处的瞬时增长率相同 B、 $y = f (x)$ 可能为奇函数 C、在 $(- 1, 1)$ 上不单调 D、 $f (1.2) + f (1) > 2 f (1.1)$

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16、“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有 $6$ 名划手、其中有 $3$ 名只会划左桨， $3$ 名只会划右桨.现从这 $6$ 名划手中选派 $4$ 名参加比赛，其中 $2$ 名划左桨， $2$ 名划右桨，则不同的选派方法共有（）

A、 $3$ 种 B、 $6$ 种 C、 $9$ 种 D、 $36$ 种

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17、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $\frac{S_{n}}{n} = n$ ，则 $a_{3}$ 的值为（）

A、5 B、9 C、10 D、25

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18、下列导数运算正确的是（）

A、 ${(cos \frac{π}{6})}^{'} = - \frac{1}{2}$ B、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ C、 ${(x^{2} ln x)}^{'} = 2 x ln x$ D、 ${(e^{- x})}^{'} = e^{- x}$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .

(1)、证明：当 $a = 1$ 时， $f (x) \geq - 1$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln (x + m)$ ，点 $P (- 1, 0)$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 与曲线 $f (x)$ 相切.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若函数曲线 $g (x)$ 也与直线 $l$ 相切，求 $m$ 的值；

(3)、设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，当 $m \leq 2$ 时，求证： $h (x) > 0$ .

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