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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、已知 $a = 7$ ， D是BC边的中点，且 $A D ⊥ A C$ ，求AD的长．

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2、某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的情况有种（用数字作答）．

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = - 1, S_{7} = 5 a_{4} + 10$ ，则 $S_{4} =$ ．

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（）

A、若直线BD的斜率为1，则 $|B D| = 8$ B、以BD为直径的圆与y轴相切 C、 $E F ⊥ G F$ D、B，O，G三点共线

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5、为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.5
0.8
1
1.2
1.5
假设经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.28$ ，则（）
（参考公式：相关系数为 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ）

A、 $\hat{b} = 0.24$ B、当 $x = 4$ 时，对应的残差为0.04 C、样本数据y的第40百分位数为0.8 D、去掉点 $(3, 1)$ 后，x与y的样本相关系数r不变

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6、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与E交于M，N两点．若 $\cos ∠ F_{1} M F_{2} = \frac{7}{9}$ ， $|M N| = |M F_{1}|$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (x - 1) e^{x}, x < 1 \\ a x + 1, x \geq 1 \end{matrix}$ 有最大值，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $(- 1, 0]$

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8、满足等式 $\{0, 1\} \cup X = \{x \in R |x^{3} = x\}$ 的集合X共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、已知 $(1 + i) z = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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10、已知 $l_{1}, l_{2}$ 是分别经过 $A (1, 1), B (0, - 1)$ 的两条平行直线，当 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离最大时，直线 $l_{1}$ 的方程是.

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e$ ， $a \in R$ .（注： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数）

(1)、若 $f (x)$ 无极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{3} + x - e + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、如图，在三棱锥 $P - A B Q$ 中， $P B ⊥$ 平面ABQ， $B A = B P = B Q = 2$ ， D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点， $A B ⊥ B Q$ ， PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．

(1)、求证： $A B ∥ G H$ ；

(2)、求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；

(3)、求点A到平面PCD的距离．

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13、如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体 $B C F E G H$ 的体积为（）

A、 $\frac{1}{2} V$ B、 $\frac{4}{9} V$ C、 $\frac{5}{9} V$ D、 $\frac{3}{5} V$

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14、平行直线 $l_{1} : 2 x - 3 y + 2 = 0$ 与 $l_{2} : a y - x + 2 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\frac{6}{13}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$

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15、设函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ .已知 $f (x_{1}) = 1, f (x_{2}) = 1$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ .

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16、为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
质量指标值
$[100, 110)$
$[110, 120)$
$[120, 130)$
$[130, 140)$
$[140, 150)$
频数
20
30
30
10
10

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；

(2)、现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在 $[120, 130)$ 和 $[130, 140)$ 两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.

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17、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $f (x) = e^{| x |}$ B、 $f (x) = \ln | x |$ C、 $f (x) = x^{- 2}$ D、 $f (x) = \sin | x |$

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18、在 ${(a x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的二项式系数之和等于 $79$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若展开式中的常数项为 $\frac{55}{2}$ ，试求展开式中系数最大的项.

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19、已知函数 $h (x) = e^{x}$ （e是自然对数底数），函数 $y = φ (x)$ 的图象与函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称．令 $f (x) + g (x) = h (x)$ ，其中 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为奇函数、偶函数．

(1)、求 $y = h (x) φ (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最大值；

(2)、求 $g (x)$ ，并证明 $\frac{g (x_{1}) + g (x_{2})}{2} \geq g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；

(3)、求证： $δ (x) = φ (x) + φ (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $φ (e x_{0}) < h (x_{0} + \ln x_{0})$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若异面直线 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求点B到平面 $P C D$ 的距离．

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质量指标值	$[100, 110)$	$[110, 120)$	$[120, 130)$	$[130, 140)$	$[140, 150)$
频数	20	30	30	10	10

x	1	2	3	4	5
y	0.5	0.8	1	1.2	1.5