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相关试卷

1、已知一块正三棱台木料 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 如图所示，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，且 $A C = 3$ ， $A_{1} C_{1} = 2$ ．

(1)、要经过点 $O$ 将木料锯开，使截面平行于平面 $C A A_{1} C_{1}$ ，在木料表面应该怎样画线，并说明理由；

(2)、写出一种切割方式，要求过点 $O$ ，将（1）问中较大的几何体，切割出与较小木料体积相同的木料.

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $4 S = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $H$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $A H = \sqrt{2}$ ，求 $A H \cdot B H + C H$ 的取值范围．

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3、如下图所示，多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 是由长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，过 $A_{1}$ ， $D$ ， $E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ ．

(1)、求该多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ 的体积；

(2)、求证： $B_{1} C //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(3)、判断直线 $E F$ 与直线 $B_{1} C$ 的位置关系，并对你的结论加以证明．

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4、甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点 $A B C D$ 处，碳原子位于正四面体的中心 $O$ 处．若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则平面 $O A B$ 和平面 $O C D$ 位于正四面体内部的交线长度为

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5、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 120 °$ ， $C D = 10 m$ ，并在点C测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ m．

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6、在复数范围内，方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的解为

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B + {cos}^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、若 $A > B$ ，则 $sin 2 A > sin 2 B$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，平面 $B E D_{1}$ 交棱 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，给出的四个结论，正确的是（）

A、对于任意的点 $E$ ， $E D_{1} // B F$ B、存在点 $E$ ，使得 $A_{1} C_{1} //$ 平面 $B E D_{1} F$ C、存在点 $E$ ，使直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} E$ 共面 D、存在唯一的点 $E$ ，使得截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长取得最小值

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9、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A、 $\frac{500 π}{3}$ cm³ B、 $\frac{866 π}{3}$ cm³ C、 $\frac{1372 π}{3}$ cm³ D、 $\frac{1000 π}{3}$ cm³

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10、已知 $\vec{A C} = (- 1, 3)$ ， $\vec{A B} = (3, 1)$ ，若线段 $B C$ 的一个三等分点为 $M$ ，则 $\vec{A M}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{7}{3})$ 或 $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ C、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{7}{3}, \frac{1}{3})$ 或 $(\frac{10}{3}, \frac{7}{3})$

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11、已知在 $△ A B C$ 中， $cos A = \frac{4}{5}$ ， $tan B = 2$ ，则 $tan C$ 的值为（）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $\frac{11}{2}$

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12、已知 $α, β$ 为两个不同的平面， $m, n, l$ 为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α / / β$ ，且 $m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $l / / m, l / / n$ ，且 $m, n \subset α$ ，则 $l / / α$

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13、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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14、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $(m - 1) f (m - 2) \leq 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [1, 4]$ C、 $[- 1, 0] \cup [2, 5]$ D、 $[- 1, 5]$

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15、已知 $A$ 是函数 $y = f (x)$ 定义域的子集，若 $\exists t \in R, \forall x \in A, f (x + t) - (t + 1) \cdot f^{'} (x) \geq 0$ 成立，则称 $y = f (x)$ 为 $A$ 上的“ $L (t)$ 函数”.

(1)、判断 $f (x) = cos x$ 是否是 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的“ $L (0)$ 函数”？请说明理由；

(2)、证明：当 $e^{p} + \frac{p - 1}{e - 2} = 0$ （ $p$ 是与 $x$ 无关的实数）， $g (x) = e^{x} + x$ 是 $(q, + \infty)$ 上的“ $L (1)$ 函数”时， $q \geq p$ ；

(3)、已知 $h (x) = x^{2} - a x$ 是 $[0, 2]$ 上的“ $L (2)$ 函数”，求 $a$ 的取值范围.

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16、为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.

(1)、用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；

(2)、将此次竞赛成绩 $ξ$ 近似看作服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ （用样本平均数和标准差 $s$ 分别作为 $μ, σ$ 的近似值），已知样本的标准差 $s \approx 7.5$ .现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(3)、从得分区间 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间 $[90, 100]$ 的概率.
参考数据：若 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.99$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，且 $∠ P F_{2} F_{1}$ 为钝角，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为.

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18、已知具有线性相关性的变量 $x, y$ ，设其样本点为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ ，经验回归方程为 $\hat{y} = - 2 x + \hat{a}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 40$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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19、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $g (x) - f (3 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x - 1)$ ，且 $g (x + 2)$ 为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称 B、 $f (2) + f (4) = 4$ C、 $\sum_{k = 1}^{2027} g (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = - 4050$

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20、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，数列 $\{f (a_{n})\}$ 的前n项的和为 $T_{n}$ .则下列各项的两个命题中， $p$ 是 $q$ 的必要条件的是（）

A、 $p : f (a_{5}) = 0$ ， $q : S_{9} = 0$ B、 $p : S_{10} = 0$ ， $q : f (a_{5} + a_{6}) = 0$ C、 $p : a_{5} = 0$ ， $q : T_{9} = 0$ D、 $p : T_{10} = 0$ ， $q : a_{5} + a_{6} = 0$

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