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相关试卷

1、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ ，点 $A (1, 0, 1)$ 在平面内，则点 $B (2, 1, 3)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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2、双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{6}$

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3、直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2$ 的倾斜角是（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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4、已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + \sin (2 x + \frac{π}{6}) - \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ．

(1)、化简 $f (x)$ 并求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知 $f (x)$ 在 $[0, m)$ 的值域为 $[2, 3]$ ，求m的取值范围；

(3)、在锐角三角形ABC中， $f (B) = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $c - a$ 的范围．

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5、已知 $A$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为6，到 $y$ 轴的距离为5 .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $C$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点， $\vec{M F} = 2 \vec{F N}$ ，求 $|M N|$ .

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6、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则 $|A B| =$ ．

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7、大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中每一项代表了太极衍生过程．已知大衍数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + n + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + n, n 为偶数 \end{array}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 8$ B、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + a_{5} - a_{6} + a_{7} - a_{8} = - 20$ C、 $a_{n + 2} = a_{n} + 2 n + 1$ D、 $a_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{n^{2} - 1}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2}, n 为偶数 \end{array}$

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8、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在C上，且 $|P F_{1}|$ 的最大值为3，最小值为1，则（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ F_{2} P F_{1}$ 的周长为4 C、点P可能在以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为直径的圆上 D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{2} P F_{1}$ 的面积为 $\sqrt{3}$

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9、已知圆C： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l： $(m + 1) x + 2 y - 1 + m = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线l恒过定点 $(- 1, 1)$ B、当 $m = 0$ 时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C、直线l被圆C截得的最小弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、圆C与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 8 = 0$ 外切

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10、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，若位于第一象限的点 $P (a, b)$ 在两圆的公共弦上，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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11、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $O$ 为坐标原点，以 $O F$ 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外） $A, B$ 两点，若 $|A B| = b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12、已知 $cos (α - \frac{π}{6}) - \frac{1}{2} = sin α$ ，则 $cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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13、若 $\frac{z}{1 - i} = 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、关于实数 $x$ ，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲： $x > 2$ ；乙： $x < 4$ ；丙： $x > 3$ ．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则 $x$ 的取值范围可以为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(2, 3)$ D、 $[4, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 a + 4) x - 2 a + 2, & x < 1 \\ x^{2} - (a - 1) x + 3, & x \geq 1 \end{array}$ ，满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 1$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \frac{3}{2}, 2]$ C、 $(- \frac{3}{2}, - 1]$ D、 $[- 1, 2]$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} cos x, x < 0 \\ x^{2}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- \frac{π}{3}))$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A B$ $∥$ $C D$ ，且 $C D = 2, A B = 1, B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 2, A B ⊥ B C, E$ 为 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在线段 $A P$ 上，直线 $C M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{15}$ ，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值.

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18、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $7 \sin C + 3 \sqrt{3} \cos A = 0$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \frac{13}{7} a b$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a + c = 10$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组 $[20, 30)$ ，第2组 $[30, 40)$ ，第3组 $[40, 50)$ ，第4组 $[50, 60)$ ，第5组 $[60, 70]$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、求样本数据的第60百分位数；

(3)、若将频率视为概率，现在要从 $[20, 30)$ 和 $[60, 70]$ 两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在 $[20, 30)$ 这一组的概率.

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20、已知函数 $f (x)$ 的图象与 $y = sin x$ 的图象关于 $x$ 轴对称，将 $f (x)$ 图象的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得函数图象向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度，得函数 $g (x)$ 的图象.

(1)、求 $g (x)$ 图象的对称中心；

(2)、求 $g (x)$ 取最大值时自变量 $x$ 的取值集合.

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