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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b = 2 a \sin (C + \frac{π}{3})$ ．

(1)、求角A；

(2)、D为BC上一点， $2 \vec{B D} = \vec{D C}$ ．
（i）若 $∠ C A D = \frac{π}{4}$ ，求 $\frac{b}{c}$ 的值；
（ii）若 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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2、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和.已知 $\frac{2 S_{n}}{n} + n = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、证明： $\{a_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{4}$ ， $a_{7}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，令 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} + 14) (a_{n} + 16)}$ ，且 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < 2 λ - 1$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\vec{m} = (\tan A, \tan B)$ ， $\vec{n} = (b, b - 2 c)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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4、中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体如图所示，则该不规则几何体的体积为.

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5、已知函数 $f (x) = e^{x - a} + e^{2 - x}$ ，若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称，则 $f (x)$ 的值域为.

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6、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 1 + i$ ，则 $\bar{z} =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{3} \cos 3 x$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $x = π$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $(\frac{π}{2}, 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 内单调递减

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8、已知向量 $\vec{a} = (\sin α, \cos α)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\tan α = \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan α = - \frac{1}{2}$ C、当 $f (α) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 取得最大值时， $\tan α = \frac{1}{2}$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{a}{a^{x} + 1} - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）为奇函数，若方程 $f (x) = m - a^{x}$ 有两个不同的实数解，则m的取值范围为（）

A、 $0 < m < 1$ B、 $m < - 2 \sqrt{2} - 2$ C、 $m > - 2$ D、 $2 \sqrt{2} - 2 < m < 1$

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10、已知a，b，c分别是 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，则下列命题中正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\cos A < \sin B$ B、若 $△ A B C$ 是边长为1的正三角形，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $B = \frac{π}{6}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 有一解 D、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

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11、设 $α$ ， $β$ 为两个平面，m、n为两条直线且 $α \cap β = m$ .以下为假命题的是（）

A、若 $m // n$ ，则 $n // α$ 且 $n // β$ B、若 $m // n$ ，则n平行于平面 $α$ 内的无数条直线 C、若 $n // α$ 且 $n // β$ ，则 $m // n$ D、若n在平面 $β$ 外，则m与n平行或异面或相交

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12、曲线 $y = sin x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y = 0$ C、 $π x - y = 0$ D、 $π x + y = 0$

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13、对于平面内两个非零向量 $\overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ ， $p : \overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} > 0$ ， $q : \overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 1}{x - 2} \geq 0\}, B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ B、 $\{x |1 < x < 2\}$ C、 $\{x |2 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |2 < x < 3\}$

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15、双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为 $sin h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数定义为 $cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .

(1)、求双曲余弦函数 $cos h (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、令 $f (x) = cos h (x) - cos x$ ，请讨论 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性；

(3)、证明： $2 tan \frac{1}{2} cos h (\frac{1}{2}) + 3 tan \frac{1}{3} cos h (\frac{1}{3}) + \dots + n tan \frac{1}{n} cos h (\frac{1}{n}) > n + \frac{1}{6 n} - \frac{7}{6} (n > 1, n \in N^{*})$ .

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16、已知 $F (0, 1)$ ，动点 $P$ 到点 $F$ 的距离比到直线 $l : y = - 2$ 的距离小 $1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $T (0, 2)$ ，过点 $P$ 作 $C$ 的切线 $l_{1}$ ，与直线 $l$ 交于点 $N$ ，直线 $P T$ 与 $l$ 交于点 $M$ ，与抛物线交于另一点 $Q$ ；
（i）设点 $P$ 、 $Q$ 到直线 $l$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，证明： $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}}$ 为定值；
（ii）求 $△ T M N$ 面积的最小值.

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17、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ， $F$ 为 $A C$ 的中点， $A_{1} B = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求证： $A_{1} F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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18、在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题.

(1)、如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(2)、如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；

(3)、如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记 $X$ 表示抽到代数题的道数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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19、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{3} + a_{7} = 44$ ， $S_{4} = 48$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{3}{8}$ .

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20、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的内切球与圆锥侧面相切的圆的周长为.

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