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相关试卷

1、已知函数 $y = \frac{2020}{x}$ 的图象分别与函数 $f (x) = {log}_{2} x$ 和 $g (x) = 2^{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，设两交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $2020^{2}$ B、 $4040$ C、 $2020$ D、 $1$

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2、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{2}$ ，已知函数 $g (x) = \{\begin{cases} | \lg x |, x > 0 \\ e^{x}, x \leq 0 \end{cases}$ ，则函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $[- 5, 5]$ 内的零点个数为（）

A、 $13$ B、 $12$ C、 $11$ D、 $10$

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3、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin θ - \cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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4、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值．

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求证： ${[f^{'} (x) - 2]}^{n} - f^{'} (x^{n}) \geq 2^{n} - 4 (n \in N^{*})$ ．

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5、某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于 $130$ 分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组 $[90, 100)$ 的频数为 $10$ ．

(1)、求 $a$ 的值和样本容量；

(2)、用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩；

(3)、假设在抽取的样本中，男生比女生多 $20$ 人，且女生的获奖率为 $12.5 %$ ，问：能否有 $95 %$ 的把握认为获奖与性别有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$k$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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6、某学校食堂给学生配餐，准备了5种不同的荤菜和 $n$ 种不同的素菜．

(1)、当 $n = 4$ 时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？

(2)、若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有100种不同的选择，求 $n$ 的最小值．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的最值．

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8、如图，已知海岛 $A$ 到海岸公路 $B C$ 的距离 $A B$ 为 $50 km$ ， $B$ 、 $C$ 间的距离为 $100 km$ ．从 $A$ 到 $C$ ，先乘船到海岸公路 $D$ 处，再乘汽车从 $D$ 处到 $C$ 处，已知船速为 $25 km / h$ ，车速为 $50 km / h$ ，则从 $A$ 到 $C$ 所需的最少时间为h.

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9、已知二次函数 $f (x)$ 从1到 $1 + Δ x$ 的平均变化率为 $3 + Δ x$ ，请写出满足条件的一个 $f (x) =$ ．

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10、现有 $6$ 本不同的书，下列说法正确的有（）

A、如果平均分成 $3$ 堆，则共有 $15$ 种分法 B、如果分给甲、乙、丙三人，且甲得 $1$ 本、乙得 $2$ 本、丙得 $3$ 本，则共有 $60$ 种不同分法 C、如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有 $6^{3}$ 种不同分法 D、如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有 $294$ 种分法

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，其导函数为 $g (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 有三个互不相同的零点 C、方程 $f (x) = a$ 有三个不同解，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- 4, 0)$ D、 $g (2 - x) = g (x)$

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12、在 ${(2 + a + b)}^{5}$ 的展开式中， $a^{2} b$ 的系数为（）

A、 $30$ B、 $60$ C、 $90$ D、 $120$

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13、在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法种数为（）

A、16 B、20 C、24 D、28

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14、样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为（　　）

A、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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15、对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（）

A、小明得了95分 B、小明答对了95%的试题 C、95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数 D、小明排名在第95名

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16、已知椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{2})$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C_{1}$ 有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点 $A (x, 0)$ ， $B (0, y)$ ，当点M运动时，求点 $N (x, y)$ 的轨迹C的方程.

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，且经过点 $P (\sqrt{2}, 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1} : y = k x - 1$ 与 $C$ 有且只有一个公共点，求 $k$ 的值；

(3)、直线 $l_{2} : y = \frac{\sqrt{6}}{2} x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 是坐标原点．若 $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值．

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18、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求λ的值．

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19、为进一步推进农村经济结构调整，某村推出乡村文化旅游项目，在水果成熟之际举办“水果观光采摘节”活动.现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、试估计消费金额的84%分位数.

(2)、若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从5人中抽取2人作为幸运客户免费参加乡村旅游项目，求2人中至少有1人消费金额不低于100元的概率.

(3)、为吸引顾客，该村特推出两种促销方案.
方案一：每满80元可减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克水果，应该选择哪种方案更优惠.

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20、已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长均为2， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，设棱 $A_{1} D_{1}$ ， $B C$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，若底面 $A B C D$ 内一动点 $P$ 满足 $\vec{P M} \cdot \vec{P N} = 0$ ，则 $P$ 的运动轨迹长度为.

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$P (χ^{2} \geq k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$