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相关试卷

1、已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 是 $Γ$ 上一动点，且 $△ O P F$ 的面积最大值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、若 $C$ 是 $Γ$ 上的另一点，满足四边形 $O A C B$ 为平行四边形.
（i）求 $|A B|$ ；
（ii）设 $C$ 关于 $O$ 的对称点为 $D$ ，求证： $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共圆.

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且满足 $a^{2} + c^{2} - a c = b^{2}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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3、若直线 $y = k x$ 是曲线 $y = a \ln x$ 的切线，也是曲线 $y = e^{x}$ 的切线，则 $a =$ ．

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4、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 3 a_{3}$ ，则公比 $q$ 的值为.

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = - a_{n}^{2} + 2 a_{n} + c ， a_{1} = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\forall c < - 1 ， a_{n} < 0$ B、 $\forall c < - 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 单调递减 C、 $\exists c \in R$ ，使得数列 $\{a_{n}\}$ 为公差不为 0 的等差数列 D、若 $c = 0 ， (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) (1 - a_{3}) \dots (1 - a_{10}) = 2^{1023}$

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6、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两点，若直线 $A B$ 过抛物线的焦点 $F$ 且倾斜角为 $θ$ .则下列命题正确的是（）

A、 $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ B、 $|A B| = x_{1} + x_{2} + p = \frac{2 p}{\sin^{2} θ}$ C、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{1}{|B F|} = \frac{2}{p}$ D、 $y_{1} y_{2} = - 2 x_{1} x_{2}$

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7、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为BC的中点，则（）

A、 $A D ⊥ A_{1} C$ B、 $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} D$ C、 $A D / / A_{1} B_{1}$ D、 $C C_{1} / /$ 平面 $A A_{1} D$

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8、已知点M，N为圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 上两点，且 $|M N| = 2 \sqrt{3}$ ，点P在直线 $\sqrt{3} x - y - 5 = 0$ 上，点Q为线段 $M N$ 中点，则 $|P Q|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $M$ 是双曲线左支上的一点，且 $3 |M F_{2}| = 5 |M F_{1}|$ ，则此双曲线离心率的最大值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10、若实数 $x, y, z$ 互不相等，且满足 $2^{x} = 3^{y} = {log}_{4} z$ ，则（）

A、 $z > x > y$ B、 $z > y > x$ C、 $z > x, z > y$ D、以上三个答案都不正确

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11、若函数 $y = tan \frac{ω x}{2} (ω \neq 0)$ 的最小正周期为1，则函数 $y = tan ω x$ 图象的对称中心为（）

A、 $(\frac{k}{2}, 0), k \in Z$ B、 $(\frac{k}{4}, 0), k \in Z$ C、 $(\frac{k π}{2}, 0), k \in Z$ D、 $(\frac{k π}{4}, 0), k \in Z$

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12、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{a}{x}$ ．

(1)、若 $x > 1$ ， $f (x) > 0$ ，求实数a的取值范围；

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < \frac{\sqrt{1 - 4 a^{2}}}{a}$ ．

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2，过 $E$ 的左焦点 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $x = - 2$ 相交于点 $M$ .

(1)、求椭圆方程；

(2)、若 $M (- 2, - 1)$ ，求证： $|M A| \cdot |B F| = |M B| |A F|$ ；

(3)、过点 $F$ 作直线 $l$ 的垂线 $m$ 与 $E$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，与直线 $x = - 2$ 相交于点 $N$ .求 $\frac{1}{|M A|} + \frac{1}{|M B|} + \frac{1}{|N C|} + \frac{1}{|N D|}$ 的最大值.

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14、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B // C D$ ， $A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = A S = B S = 4$ ， $S D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B S$ ；

(2)、求二面角 $A - B S - C$ 的正弦值．

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15、直线 $x = t$ 与曲线 $C_{1}$ ： $y = - e^{x} + a x (a \in R)$ 及曲线 $C_{2}$ ： $y = e^{- x} + a x$ 分别交于点A，B.曲线 $C_{1}$ 在A处的切线为 $l_{1}$ ，曲线 $C_{2}$ 在B处的切线为 $l_{2}$ .若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点C，则 $△ A B C$ 面积的最小值为.

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16、抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件 $M$ 为“2个骰子的点数不相同”，事件 $N$ 为“点数之和大于8”，则在事件 $M$ 发生的条件下，事件 $N$ 发生的概率是．

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17、已知 $\sqrt{3} cos a - sin a = 1$ ，则 $cos(2 a + \frac{π}{3}) =$ ．

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18、设函数 $f (x) = \frac{1}{2} cos 2 ω x - \sqrt{3} sin ω x cos ω x, ω > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\forall ω \in (0, 1), f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减 B、若 $ω = 1$ 且 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |_{min} = π$ C、若 $| f (x) | = 1$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有2个不同的解，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{5}{6}, \frac{4}{3})$ D、存在 $ω \in (2, 3)$ ，使得 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到的函数为奇函数

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与C的右支于点A，若C的左支上存在点B满足 $(\vec{O B} + \vec{O F_{1}}) \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ，且 $\vec{O B} + \vec{O F_{1}} = λ \vec{O A} (λ \neq 0)$ ，则C的离心率为（）

A、3 B、 $\sqrt{3} - 1$ C、2 D、 $\sqrt{3} + 1$

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20、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ，信道内信号的平均功率 $S$ ，信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至5000，则 $C$ 大约增加了（）（附： $lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、20% B、23% C、28% D、50%

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