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相关试卷

1、已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为 $e_{1} 、 e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ =（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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2、已知函数 $f (x) = (a - 1) x + \ln x$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对任意 $x > 0$ ，不等式 $e^{x - a} + (x - 1) a - x \geq f (x)$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、对任意 $t < 1, x > 0$ ，不等式 $e^{x - t} - \ln a - t \geq f (x)$ 恒成立，求a的取值范围．

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2), M (1, 0)$ ．

(1)、若M是椭圆C的焦点，求b的值；

(2)、若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记 $△ P S T$ ， $△ P A B$ 面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，若 $S_{1} - S_{2}$ 为定值 $2 \sqrt{3}$ ，求椭圆C的标准方程．

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，点E为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（含边界）一动点．

(1)、若 $\vec{C_{1} E} = \frac{3}{4} \vec{C_{1} A_{1}}$ ，证明：面 $A_{1} B D ⊥$ 面 $C C_{1} E$ ；

(2)、若面 $A_{1} B D ⊥$ 面 $C C_{1} E$ ，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $2 a \sin (C + \frac{π}{6}) = b + c$ ．

(1)、求A；

(2)、如果 $a = 2$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求角B的大小．

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6、鱼饼是温州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，而且深受外来游客的赞赏小张从事鱼饼生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，小张把一年采购鱼饼的数量x（单位：箱）在 $[100 ， 200)$ 的客户采购的数量制成下图及下表：
采购数x
$[100, 120)$
$[120, 140)$
$[140, 160)$
$[160, 180)$
$[180, 200)$
客户数
10
10
5
20
5

(1)、根据表格中的数据求出频率分布直方图中的数据a，b，c，并估计客户采购数的第25百分位数；

(2)、为感谢新老客户的大力支持，小张要在国庆节开展促销活动．促销活动可以在门店内举行，也可以在门店外举行．已知在门店内的促销活动可以获得利润2千元；门店外的促销活动，如果不遇有雨天气可以获得利润8千元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3千元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是P．从利润期望的角度考虑，小张最终选择了在门店外进行促销活动，求降水概率P的取值范围．

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7、如图所示，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 分别作两条互相平行的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方）， $l_{2}$ 与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若 $\frac{|F_{1} B|}{|F_{2} D|} = \frac{4}{5}$ ， $∠ F_{1} C D + 3 ∠ C F_{1} D = π$ ，则 $e^{2}$ （e是双曲线的离心率）等于．

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8、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，边 $B C$ 和 $A C$ 上的两条中线 $A M$ 和 $B N$ 相交于点 $P$ ，那么 $\vec{A P} \cdot \vec{A C}$ 的值为．

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9、已知 $A$ 、 $B$ 为一次试验中的两个事件， $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A + B) + P (A B) =$ ．

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10、用平面 $α$ 截如图放置的正四面体ABCD，下列说法正确的是（）

A、当截面为平行四边形时，正四面体有两条棱所在的直线平行平面 $α$ B、截面可能是直角梯形 C、若平面 $α$ 分别与棱AB，AC，AD交于点E，F，G， $A E = \frac{1}{2} A B$ ， $A F = \frac{1}{3} A C$ ， $A G = \frac{1}{4} A D$ ，则平面 $α$ 与平面BCD夹角的余弦值为 $\frac{5}{6}$ D、设点F在棱AC上，点G在棱AD上（均包含端点），且 $A F = λ A C$ ， $A G = μ A D$ ，其中 $λ + μ = 1$ ．如果平面 $α$ 经过B，F，G三点，那么平面 $α$ 与平面BCD夹角的余弦值的取值范围为 $[\frac{1}{3}, \frac{5 \sqrt{33}}{33}]$

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11、已知函数 $f (x) = (x^{2} + x + a) e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（）

A、 $a = 1$ B、 $f (x)$ 有且只有一个极小值，且极小值等于 $\frac{1}{e}$ C、 $f (x)$ 的值域是 $R$ D、若 $x \in (- \infty, 0)$ ，则 $f (x^{2}) \geq f (x)$ 恒成立

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12、已知 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列结论一定正确的是（）

A、如果 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 1 + i$ ，那么 $z_{1} > z_{2}$ B、 $\bar{2 z_{1} + z_{2}} = 2 \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ C、方程 $|z_{1}| = 2$ 表示 $z_{1}$ 在复平面内对应的点的轨迹是圆 D、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意实数x，y都有 $f (x + y) = f (x) f (y) + 2 f (x) + 2 f (y) + 2$ ， $f (1) = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的周期是4 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $\sum_{n = 1}^{2025} f (n) > 3^{2025}$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {0.1}^{x} + 2 m, x < 0 \\ m^{2} \sin x - 1, x \geq 0 \end{array}$ 的值域是 $[- 5, + \infty)$ ，则m的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $- 7$ D、 $\pm 2$

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15、已知 $△ A B C$ 的外接圆的半径为5，a是角A的对边， $\sin A = \frac{1}{3} \cos A$ ，则 $a \cos A + 2 \cos 2 A =$ （）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{23}{5}$ C、 $\frac{21}{5}$ D、 $\frac{13}{5}$

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16、设a，b，c，d是非零实数， $\vec{e} = (a, - b), \vec{f} = (d, c)$ ，则“a，b，c，d成等比数列”是“ $\vec{e} \cdot \vec{f} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}, B = \frac{π}{3}$ ，那么向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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18、已知圆锥高为2，母线与底面所成角为 $45 °$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $(4 \sqrt{2} + 4) π$ D、 $8 \sqrt{2} π$

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19、 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数是（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 3$ D、3

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20、若集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x}}, B = \{x ∣ x^{2} = 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${- 1}$ C、 ${1}$ D、 $[0, + \infty)$

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采购数x	$[100, 120)$	$[120, 140)$	$[140, 160)$	$[160, 180)$	$[180, 200)$
客户数	10	10	5	20	5