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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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2、设复数 $z = \frac{1 + i^{2025}}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $i$ D、 $- i$

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3、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - a}{x + 1}$ 为奇函数，且不为常函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) - {log}_{2} (x - a)$ ，用定义法证明： $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减；

(3)、若（2）中的 $g (x)$ 对 $\forall x \in [7, 9]$ ，不等式 $g (x) < x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $P (m, n)$ 在曲线 $x = \sqrt{1 - y^{2}}$ 上，记 $∠ A P B = α$ ，则存在函数 $f (x)$ ，对曲线上任意一点P都有（）

A、 $m = f (α)$ B、 $α = f (m)$ C、 $n = f (α)$ D、 $α = f (n)$

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $M$ ， $N$ ，若 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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6、如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线 $C : y^{2} = x^{3} - 2 x + 2$ 的一部分，则（）

A、点 $(1, 1)$ 在 $C$ 上 B、在 $(1, 1)$ 处 $C$ 的切线，其与 $C$ 的交点的横纵坐标均为整数 C、若 $C$ 在 $x$ 轴上方的部分为函数 $f (x)$ 的图象，则 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、 $C$ 在 $y$ 轴左边的部分到坐标原点 $O$ 的距离均大于 $\sqrt{2}$

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l : y =$ $p x + q$ 与 $C$ 交于P，Q两点，且满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ （ $O$ 为坐标原点），当 $l$ 变化时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明： $q^{2} = p^{2} + 1$ ；

(3)、过点 $O$ 和线段PQ的中点作一条直线与 $C$ 交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．

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8、已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，二面角 $S - A D - B$ 为直二面角， $A D = \frac{4}{3} C D = 2 S D = 4 B C = 4$ ， $∠ B C D = ∠ A D C = ∠ A S D = 90 °$ ， M为棱 $D A$ 上一点.

(1)、证明： $S A ⊥ S C$ ；

(2)、若M为 $D A$ 中点，求二面角 $B - S C - M$ 的正弦值；

(3)、若 $B M //$ 平面 $S C D$ ，点N在平面 $S M B$ 上，若直线 $A N$ 与平面 $S C D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$ ，求 $M N$ 的最小值.

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9、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求圆 $C$ 过点 $P (- 2, 1)$ 的切线方程；

(3)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ，求实数 $a$ 的值.

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10、求解下面两个小题：

(1)、直线l经过点 $(- 1, 3)$ ，且在x轴上的截距为3，求l的方程；

(2)、直线l平行于直线 $l^{'} : x + y - 2 = 0$ ，且l与 $l^{'}$ 距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求l的方程．

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11、已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若 $(\frac{\vec{F_{2} P}}{|\vec{F_{2} P}|} + \frac{\vec{F_{2} Q}}{|\vec{F_{2} Q}|}) \cdot (\vec{F_{2} P} - \vec{F_{2} Q}) = 0$ ，则C的离心率为．

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12、已知一束光线从点 $(2，3)$ 射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线 $4 y +2 x −3=0$ 垂直，则反射光线所在直线l的方程为．

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13、已知 $O$ 为空间中任意一点， $E, F, G$ 三点不共线，且 $\vec{O H} = \frac{1}{2} \vec{O E} + \frac{1}{4} \vec{O F} + t \vec{O G}$ ，若 $H, E, F, G$ 四点共面，则实数 $t =$ .

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $|F_{1} F_{2}| = 4$ ， A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线 $P A$ 与 $P B$ 斜率的乘积为1，则（）

A、 $a = b = \sqrt{2}$ B、双曲线C的离心率为 $\sqrt{2}$ C、直线 $A B$ 倾斜角的取值范围为 $(\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ D、若 $\overset{⃑}{P F_{1}} \cdot \overset{⃑}{P F_{2}} = 0$ ，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积为2

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15、在如图所示的试验装置中，正方形框架ABCD的边长为2，长方形框架ABEF的长 $B E = \frac{3}{2} A B$ ，且它们所在平面形成的二面角 $C - A B - E$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，活动弹子M，N分别在对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且始终保持 $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F} = a (0 < a < 1)$ ，则 $M N$ 的长度最小时a的取值为（）

A、 $\frac{8}{23}$ B、 $\frac{6}{23}$ C、 $\frac{6}{15}$ D、 $\frac{2}{15}$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，交双曲线右支于 $M$ ，若 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{4}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{5} x$

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17、已知定点 $A (- 2, \sqrt{3})$ ，点 $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点，点M在椭圆上移动，求 $|A M| + |M F_{2}|$ 的最大值和最小值为（）

A、12， $2 \sqrt{7}$ B、 $10 + \sqrt{5}$ ， $10 - \sqrt{5}$ C、12，8 D、9， $2 \sqrt{7}$

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18、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 0, - 1)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (- 2, 4, 2)$ 到l的距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $\sqrt{6}$

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19、若方程 $\frac{x^{2}}{m + 4} - \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示椭圆，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- 4, 2)$ C、 $(- 4, - 1) \cup (- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (2, + \infty)$

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20、如果方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0（D²＋E²－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有

A、D＝E B、D＝F C、F＝E D、D＝E＝F

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