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相关试卷

1、下列结论中正确的是（）

A、若 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α < \tan α$ B、若a是第二象限角，则 $\frac{a}{2}$ 为第一象限或第三象限角 C、若角a的终边过点P（3k，4k）(k≠0），则 $\sin α = \frac{4}{5}$ D、若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + n$ ，当 $\frac{S_{n} + 9}{a_{n}}$ 取最小值时， $n =$ .

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 不恒等于 $0, f (π) = 0$ ，且对任意的 $x, y \in R$ ，有 $f (2 x) + f (2 y) = 2 f (x + y) f (x - y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 中心对称 D、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期

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4、已知轴截面为正三角形的圆锥 $M M^{'}$ 的高与球 $O$ 的直径相等，则圆锥 $M M^{'}$ 的体积与球 $O$ 的体积的比值是，圆锥 $M M^{'}$ 的表面积与球 $O$ 的表面积的比值是．

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5、已知 $f (x) = 3 - 2 |x|$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，设 $F (x) = \{\begin{matrix} g (x), f (x) \geq g (x) \\ f (x), f (x) < g (x) \end{matrix}$ ，则关于 $F (x)$ 的说法正确的是（）

A、最大值为3，最小值为 $- 1$ B、最大值为 $7 - 2 \sqrt{7}$ ，无最小值 C、单调递增区间为 $(- \infty, 2 - \sqrt{7})$ 和 $(1, \sqrt{3})$ ，单调递减区间为 $(2 - \sqrt{7}, 1)$ 和 $(\sqrt{3}, + \infty)$ D、单调递增区间为 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, \sqrt{3})$ ，单调递减区间为 $(0, 1)$ 和 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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6、下列命题正确的是（）

A、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则直线 $l ∥ α$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若空间向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{6} \vec{b}$ D、若向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, t)$ 的夹角为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为 $(- \infty, \frac{10}{3})$

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，图象与 $x$ 轴的交点为 $M (\frac{5}{2}, 0)$ ，与 $y$ 轴的交点为 $N$ ，最高点 $P (1, A)$ ，且满足 $N M ⊥ N P$ ．若将 $f (x)$ 的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为 $g (x)$ ，则 $g (2024) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{10}}{2}$ B、0 C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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8、下列不等式，正确的是（）

A、 $\log_{0.3} 0.5 > 1$ B、 ${0.3}^{0.5} < 1$ C、 $\log_{2} 0.5 < 2^{0.5}$ D、 $\log_{2} 3 > \log_{3} 4$

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9、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ ， $B = {x ||x - 3| < 1}$ ， $C = \{x | 2 a \leq x \leq a + 2, a \in R\}$

(1)、分别求 $A \cap B$ 和 $A \cup ∁_{U} B$ ；

(2)、若 $B \cup C = B$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $A \cap C \neq \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ ，如图， $A, B$ 是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 的两个交点，若 $|A B| = \frac{π}{6}$ ，则 $f (\frac{π}{8}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、设集合 $A = \{x |- 2 < x < 1\}$ ， $B = \{x |3^{x - 2} < \frac{1}{27}\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- 2, - 1)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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12、已知直线 $l_{1} : a x + y - 2 = 0, l_{2} : 2 x + (a + 1) y + 2 = 0, l_{3} : - 2 b x + y + 1 = 0, a, b \in R$ ，䒴 $l_{1} // l_{2}$ ， $l_{1} ⊥ l_{3}$ ，则 $b =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、过点 $(3, - 2)$ ，倾斜角为 $30 °$ 的直线方程为（）

A、 $y - 2 = \sqrt{3} (x + 3)$ B、 $y + 2 = \sqrt{3} (x - 3)$ C、 $y - 2 = \frac{\sqrt{3}}{3} (x + 3)$ D、 $y + 2 = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 3)$

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14、直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 $y = k x + 1 (k \in R)$ 表示过点 $(0, 1)$ 的直线族（不包括直线 $y$ 轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)、圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 是直线族 $m x + n y = 1 (m, n \in R)$ 的包络曲线，求 $m$ ， $n$ 满足的关系式；

(2)、若点 $N (x_{0}, y_{0})$ 不在直线族 $Ω : y = t x - t^{2} (t \in R)$ 的任意一条直线上，求 $y_{0}$ 的取值范围及直线族 $Ω$ 的包络曲线 $E$ 的方程；

(3)、在（1）（2）的条件下，过曲线 $E$ 上动点 $P$ 向圆 $M$ 做两条切线 $P A$ ， $P B$ ，交曲线 $E$ 于点 $A$ ， $B$ ，求 $△ P A B$ 面积 $S$ 的最小值.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的三边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sqrt{2} a - b}{c} = \sqrt{2} cos B$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、若 $c = 1$ ， $2 tan A = 3 tan B$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、若 $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 2 (x - 2) + 2$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，首项 $a_{1} = \frac{1}{20}$ ， $a_{n} = a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{a_{n}}{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{79} f (a_{i}) =$ .

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17、抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上一点且 $|P F| = 3$ ， $O$ 为坐标原点，则 $S_{△ O P F} =$ .

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $Q$ 是线段 $A B$ 的中点， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列命题正确的是（）

A、三棱锥 $P - A_{1} Q C$ 的体积为定值 B、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内部能够放入一个表面积为 $4 π$ 的球 C、直线 $P Q$ 与 $A C$ 所成角的正切值的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $A_{1} P + P Q$ 的最小值为 $\sqrt{10 + 2 \sqrt{6}}$

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19、古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为 $r$ 的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 $A (2 \sqrt{3}, - 2)$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过 $t$ 秒后，水斗旋转到 $P$ 点，设 $P$ 点的坐标为 $(x, y)$ ，其纵坐标满足 $y = r sin (ω t + φ) (t \geq 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，当 $t = 45$ 秒时， $|P A| =$ （）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ D、4

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20、为研究光照时长 $x$ （小时）和种子发芽数量 $y$ （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对 $x$ ， $y$ 进行线性回归分析.若在此图中加上点 $P$ 后，再次对 $x$ ， $y$ 进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）

A、 $x$ ， $y$ 不具有线性相关性 B、决定系数 $R^{2}$ 变大 C、相关系数 $r$ 变小 D、残差平方和变小

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